位相空間のカテゴリー

数学では、位相空間のカテゴリーは、しばしば次のように表される。${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は、対象が位相空間であり、射が連続写像である圏です。これは、2つの連続写像の合成が再び連続であり、恒等関数が連続であるため、圏です。

著者の中には、${\displaystyle \mathbf {トップ} }$位相多様体を持つ圏、 対象としてコンパクト生成空間を持ち射として連続写像を持つ圏、またはコンパクト生成弱ハウスドルフ空間の圏の場合。

多くのカテゴリーと同様に、カテゴリー${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は具体的な圏であり、その対象は追加の構造（位相など）を持つ集合であり、その射はこの構造を保存する関数である。自然な忘却関手が存在する。

${\displaystyle U:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$

各位相空間に基礎となる集合を割り当て、各連続写像に基礎となる関数を割り当てる集合のカテゴリーへ。

忘れっぽい関数${\displaystyle U}$左随伴の両方を持つ

${\displaystyle D:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$

これは、与えられた集合に離散トポロジーと右随伴トポロジーを付与する。

${\displaystyle I:\mathbf {Set} \to \mathbf {Top} }$

これは、与えられた集合に非離散位相を与える。実際、これら2つの関手はどちらもの右逆である。${\displaystyle U}$（つまり、${\displaystyle UD}$そして${\displaystyle UI}$は、上の恒等関手に等しい。${\displaystyle \mathbf {集合} }$さらに、離散空間間または非離散空間間の任意の関数は連続であるため、これらのファンクターは両方とも完全な埋め込みを与える。${\displaystyle \mathbf {集合} }$の中へ${\displaystyle \mathbf {トップ} }$。

${\displaystyle \mathbf {トップ} }$また、ファイバー完全であるということは、与えられた集合上のすべてのトポロジーのカテゴリが${\displaystyle X}$（繊維と呼ばれる）${\displaystyle U}$その上${\displaystyle X}$）は、包含関係によって順序付けられると完全な格子を形成する。このファイバーの最大の要素は、上の離散トポロジーである。${\displaystyle X}$一方、最小要素は非離散トポロジーである。

${\displaystyle \mathbf {トップ} }$これは、位相圏と呼ばれるもののモデルです。これらの圏は、すべての構造化されたソースが${\displaystyle (X\to UA_{i})_{I}}$独自の初期リフトを備えています${\displaystyle (A\to A_{i})_{I}}$。 で${\displaystyle \mathbf {トップ} }$初期リフトは、ソース上に初期トポロジーを配置することによって得られます。トポロジーカテゴリは、多くの特性を共有しています。${\displaystyle \mathbf {トップ} }$（例えば、ファイバー完全性、離散的および非離散的ファンクター、および限界の一意的な持ち上げなど）。

カテゴリー${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は完全かつ余完全であり、これはすべての小さな極限と余極限が に存在することを意味します。${\displaystyle \mathbf {トップ} }$実際、忘れっぽいファンクター${\displaystyle U:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$は、極限と余極限の両方を独自に持ち上げ、それらも保持します。したがって、(余)極限は${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は、対応する（余）極限に位相を配置することによって与えられる。${\displaystyle \mathbf {集合} }$。

具体的には、${\displaystyle F}$図は​${\displaystyle \mathbf {トップ} }$そして ${\displaystyle (L,\varphi :L\to F)}$限界は${\displaystyle UF}$で${\displaystyle \mathbf {集合} }$対応する限界${\displaystyle F}$で${\displaystyle \mathbf {トップ} }$初期トポロジーを配置することで得られる${\displaystyle (L,\varphi :L\to F)}$双対的に、${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は、対応する余極限に最終トポロジーを配置することによって得られます。${\displaystyle \mathbf {集合} }$。

多くの代数圏とは異なり、忘却関手${\displaystyle U:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set} }$通常は普遍的でない円錐が存在するため、制限を作成または反映しません。${\displaystyle \mathbf {トップ} }$普遍的な円錐を覆う${\displaystyle \mathbf {集合} }$。

極限と余極限の例${\displaystyle \mathbf {トップ} }$含む：

• 空集合（位相空間とみなされる）は、${\displaystyle \mathbf {トップ} }$; 任意の単一要素位相空間は終端オブジェクトである。したがって、にはゼロオブジェクトは存在しない。${\displaystyle \mathbf {トップ} }$。
• 製品は​${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は、デカルト積上の積位相によって与えられる。余積は、位相空間の非交和によって与えられる。
• 一対の射の等化子は、集合論的等化子に部分空間位相を配置することによって与えられる。双対的に、余等化子は、集合論的余等化子に商位相を配置することによって与えられる。
• 直接極限と逆極限は、それぞれ最終位相と初期位相を持つ集合論的極限である。
• 付加空間は押し出しの例です${\displaystyle \mathbf {トップ} }$。

• 単射​​${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は単射連続写像であり、全射連続写像はエピモルフィズムであり、同型写像は同相写像である。
• 極値単射は（同型を除いて）部分空間埋め込みである。実際、${\displaystyle \mathbf {トップ} }$すべての極値単射は、正則であるというより強い性質を満たす。
• 極値全射は（本質的に）商写像である。すべての極値全射は正則である。
• 分割単射は、（本質的には）レトラクトをその周囲空間に含めることである。
• 分裂全射準同型写像は（同型を除いて）ある空間からその空間の縮約空間の一つへの連続全射写像である。
• ゼロ射は存在しない${\displaystyle \mathbf {トップ} }$、特にそのカテゴリーは前加法的ではない。
• ${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は、すべての空間に対して指数オブジェクトを持たないため、デカルト閉集合ではありません（したがってトポスでもありません）。この特徴が必要な場合、コンパクトに生成されたハウスドルフ空間の完全な部分圏に限定されることがよくあります。${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$またはコンパクトに生成される弱ハウスドルフ空間の圏。しかし、${\displaystyle \mathbf {トップ} }$は擬似位相の指数圏に含まれており、擬似位相自体が（同じく指数的な）収束空間の圏のサブカテゴリである。^{[ 1 ]}

• 点付き位相空間のカテゴリー${\displaystyle \mathbf {トップ} }$_•は、上のコスライス圏である。${\displaystyle \mathbf {トップ} }$。
• ホモトピー圏${\displaystyle \mathbf {hTop} }$対象のための位相空間と射のための連続写像のホモトピー同値類を持つ。これは商圏である。${\displaystyle \mathbf {トップ} }$同様に、点付きホモトピー圏を構成することもできる。${\displaystyle \mathbf {hTop} }$_• .
• ${\displaystyle \mathbf {トップ} }$重要なカテゴリが含まれています${\displaystyle \mathbf {Haus} }$ハウスドルフ空間の完全な部分圏として。この部分圏の追加構造により、より多くの全射準同型が可能になります。実際、この部分圏の全射準同型は、その終域に稠密な像を持つ準同型であり、全射準同型は必ずしも全射である必要はありません。
• ${\displaystyle \mathbf {トップ} }$完全なサブカテゴリが含まれています${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$コンパクトに生成されたハウスドルフ空間の集合であり、重要な性質として、デカルト閉圏でありながら、関心のある典型的な空間をすべて含んでいる。これにより、${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$位相空間の特に便利なカテゴリで、${\displaystyle \mathbf {トップ} }$。
• 忘れっぽいファンクター${\displaystyle \mathbf {集合} }$上記の具体的なカテゴリーのセクションで説明したように、左随伴と右随伴の両方を持つ。
• ロケールの圏にはファンクターが存在する${\displaystyle \mathbf {位置} }$位相空間をその開集合の局所空間に写像する。この関手は、各局所空間をその位相空間の点に写像する右随伴関手を持つ。この随伴関手は、単純な空間の圏と空間的局所空間の圏との間の同値性を制限する。
• ホモトピー仮説は${\displaystyle \mathbf {トップ} }$と${\displaystyle \mathbf {\infty Grpd} }$∞-群圏のカテゴリー。この予想は、∞-群圏は弱いホモトピー同値性に関して位相空間と同値であると述べている。

• 群の圏– 対象が群であり、射が群準同型である圏 
• 距離空間の圏– 対象が距離空間であり、射が距離写像である圏 
• 集合の圏– 対象が集合であり、射が関数である圏 
• 基点を持つ位相空間のカテゴリ– 特異点を持つ位相空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 位相ベクトル空間のカテゴリー
• 測定可能な空間のカテゴリー
• 圏論的位相