グループのカテゴリー

数学では、カテゴリー${\displaystyle \mathbf {Grp} }$（または${\displaystyle \mathbf {Gp} }$^{[ 1 ]} ) は、群のクラス、射については群準同型のクラス。そのため、これは具体的な圏。群論はこの圏の研究と考えることができる。

忘れるファンクターが2つあります${\displaystyle \mathbf {Grp} }$、${\displaystyle \mathrm {M}$ :\mathbf {Grp} \to \mathbf {Mon} } 群からモノイドへ、${\displaystyle \mathrm {U}$ :\mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} } はグループから集合への変換です。${\displaystyle \mathrm {M} }$には2つの随伴要素がある。1つは右随伴要素、もう1つは左随伴要素である。${\displaystyle \mathrm {I}$ :\mathbf {Mon} \to \mathbf {Grp} } は、すべてのモノイドを可逆要素のサブモノイドに送る右随伴関手であり、${\displaystyle \mathrm {K}$ :\mathbf {Mon} \to \mathbf {Grp} } は、 すべてのモノイドをそのモノイドのグロタンディーク群に送る左随伴関手です。忘却関手${\displaystyle \mathrm {U}$ :\mathbf {Grp} \to \mathbf {Set} は、 合成によって与えられる左随伴を持つ。${\displaystyle \mathrm {KF}$ :\mathbf {Set} \to \mathbf {Mon} \to \mathbf {Grp} } 、ここで${\displaystyle \mathrm {F} }$は自由関数です。この関数は、すべての集合に を割り当てます。${\displaystyle S}$無料グループ​${\displaystyle S}$。

単射​​${\displaystyle \mathbf {Grp} }$はまさに単射準同型写像であり、全射準同型写像はまさに全射準同型写像であり、同型写像はまさに全単射準同型写像である。

カテゴリー${\displaystyle \mathbf {Grp} }$は完全かつ余完全である。${\displaystyle \mathbf {Grp} }$は群の直接積であり、圏論的コ積は${\displaystyle \mathbf {Grp} }$は群の自由積です。${\displaystyle \mathbf {Grp} }$これらは自明な群（単位元のみからなる群）である。

すべての射${\displaystyle f:G\to H}$で${\displaystyle \mathbf {Grp} }$カテゴリー理論の核（通常の代数の核によって与えられる）を持つ${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{x\in G|f(x)=e\}}$）、また圏論的余核（商群によって与えられる）${\displaystyle H}$通常の閉鎖により${\displaystyle f(G)}$で${\displaystyle H}$) アーベル圏とは異なり、すべての単射が${\displaystyle \mathbf {Grp} }$それは、その副核の核である。

• ゴールドブラット、ロバート（2006）[1984]。トポイ、論理の範疇分析（改訂 版）。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45026-12009年11月25日に取得。