グループ関数

数学において、群関数は可換環のカテゴリ上の群値関数である。群関数は典型的には群スキームの一般化と見なされるが、その概念自体にはスキーム理論は含まれない。この特徴のため、ウォーターハウスとミルン（ウォーターハウスの後継者）^[1]など一部の著者は、スキーム理論ではなく群関数の概念に基づいて群スキームの理論を展開している。

形式群は通常、特定の種類の群関数として定義されます。

スキームは、 Sスキームのカテゴリから接着公理を満たす集合のカテゴリへの反変関手として考えることができます。この観点は点の関手として知られています。この観点では、グループ スキームは、ザリスキー層である (つまり、ザリスキー位相の接着公理を満たす) グループのカテゴリへの反変関手です。 ${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$

例えば、Γが有限群である場合、Spec( R )をその上の局所定数関数の集合に送る関数を考えます。^{[説明が必要]}例えば、群スキーム

${\displaystyle SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}}\right)}$

関数として記述できる

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)}$

例えば、リングを例にとると、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}}\end{aligned}}}$

基礎となるカテゴリの位相（もしあれば）を尊重する群関数を考えることは有用である。すなわち、群関数が層であり、群関数が層であるものは群層と呼ばれる。この概念は特にトルソーの議論で現れる（トルソーでは位相の選択が重要な問題である）。

例えば、p分割群はfppf群層（fppf位相に関する群層）の例である。^[2]

• 自己同型群関数

• ウォーターハウス、ウィリアム(1979)、「アフィン群スキーム入門」、Graduate Texts in Mathematics、第66巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-1-4612-6217-6、ISBN 978-0-387-90421-4、MR  0547117