注文の削減

階数の簡約（ダランベール簡約）は、2 階の線形常微分方程式を解く数学の手法です。1 つの解がわかっていて、2 番目の線形独立な解が必要な場合に使用されます。この方法は、 n階の方程式にも適用されます。この場合、この仮説は、 の ( n −1) 階の方程式を生成します。 ${\displaystyle y_{1}(x)}$${\displaystyle y_{2}(x)}$${\displaystyle v}$

一般的な同次 2 次線形定数係数常微分方程式 (ODE) を考えます。 (ODE) は実数の非ゼロ係数です。この ODE の 2 つの線形独立解は、判別式、がゼロになる場合を除き、特性方程式を使用して簡単に見つけることができます。この場合、 特性方程式を使用して 1 つの解 のみ を見つけることができます。 $${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0,}$$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle b^{2}-4ac}$$${\displaystyle ay''(x)+by'(x)+{\frac {b^{2}}{4a}}y(x)=0,}$$$${\displaystyle y_{1}(x)=e^{-{\frac {b}{2a}}x},}$$

階数削減法は、既知の解を使ってこの微分方程式の2番目の線形独立解を求めるのに使われます。2番目の解を求めるには、 を推測します 。 ここで は決定すべき未知の関数です。 は元の常微分方程式を満たす必要があるので、 に代入して を得ます。 この方程式を の導関数で整理すると、が得られます 。$${\displaystyle y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x)}$$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle y_{2}(x)}$$${\displaystyle a\left(v''y_{1}+2v'y_{1}'+vy_{1}''\right)+b\left(v'y_{1}+vy_{1}'\right)+{\frac {b^{2}}{4a}}vy_{1}=0.}$$${\displaystyle v(x)}$$${\displaystyle \left(ay_{1}\right)v''+\left(2ay_{1}'+by_{1}\right)v'+\left(ay_{1}''+by_{1}'+{\frac {b^{2}}{4a}}y_{1}\right)v=0.}$$

は元の問題の解であることがわかっているので、最後の項の係数はゼロに等しい。さらに、 2番目の項の係数に代入すると、（その係数について） ${\displaystyle y_{1}(x)}$${\displaystyle y_{1}(x)}$$${\displaystyle 2a\left(-{\frac {b}{2a}}e^{-{\frac {b}{2a}}x}\right)+be^{-{\frac {b}{2a}}x}=\left(-b+b\right)e^{-{\frac {b}{2a}}x}=0.}$$

したがって、私たちに残されたものは $${\displaystyle ay_{1}v''=0.}$$

はゼロでないと仮定され、指数関数（したがって常にゼロでない） なので、${\displaystyle a}$${\displaystyle y_{1}(x)}$$${\displaystyle v''=0.}$$

これを2回積分すると、積分定数が得られます 。2番目の解は次のように書けます。 $${\displaystyle v(x)=c_{1}x+c_{2}}$$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$$${\displaystyle y_{2}(x)=(c_{1}x+c_{2})y_{1}(x)=c_{1}xy_{1}(x)+c_{2}y_{1}(x).}$$

の2番目の項は最初の解のスカラー倍数（従って線形従属）なので、その項を削除して、最終解は次のようになります。 ${\displaystyle y_{2}(x)}$$${\displaystyle y_{2}(x)=xy_{1}(x)=xe^{-{\frac {b}{2a}}x}.}$$

最後に、この方法で見つかった2番目の解が最初の解と線形独立であることを証明するために、ロンスキアンを計算する。${\displaystyle y_{2}(x)}$ $${\displaystyle W(y_{1},y_{2})(x)={\begin{vmatrix}y_{1}&xy_{1}\\y_{1}'&y_{1}+xy_{1}'\end{vmatrix}}=y_{1}(y_{1}+xy_{1}')-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}+xy_{1}y_{1}'-xy_{1}y_{1}'=y_{1}^{2}=e^{-{\frac {b}{a}}x}\neq 0.}$$

これが、私たちが探していた 2 番目の線形独立ソリューションです。 ${\displaystyle y_{2}(x)}$

一般の非同次線形微分方程式 と同次方程式の 単一の解[ ]が与えられているので、次の形式の完全な非同次方程式の解を試してみよう 。 ここで は任意の関数である。したがって 、 $${\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=r(t)}$$${\displaystyle y_{1}(t)}$${\displaystyle r(t)=0}$$${\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)}$$${\displaystyle v(t)}$$${\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)}$$$${\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).}$$

これらを微分方程式の、、に 代入すると、${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle y''}$$${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=r(t).}$$

は元の同次微分方程式 の解なので、 に簡約することができ 、これは の1階微分方程式です（次数の簡約）。 で割ると、 ${\displaystyle y_{1}(t)}$${\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}$$${\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=r(t)}$$${\displaystyle v'(t)}$${\displaystyle y_{1}(t)}$$${\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'={\frac {r(t)}{y_{1}(t)}}.}$$

積分因子の1つは で与えられ、 ${\displaystyle \mu (t)=e^{\int ({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t))dt}}$

${\displaystyle \int \left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,dt=2\int {\frac {y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}\,dt+\int p(t)\,dt=2\ln(y_{1}(t))+\int p(t)\,dt=\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt,}$

この積分係数は次のようにより簡潔に表現できる。微分方程式に積分係数を掛けると、に対する方程式は次のように簡略化できる。 ${\displaystyle \mu (t)=e^{\ln(y_{1}^{2}(t))+\int p(t)\,dt}=y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}.}$${\displaystyle \mu (t)}$${\displaystyle v(t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(v'(t)y_{1}^{2}(t)e^{\int p(t)dt}\right)=y_{1}(t)r(t)e^{\int p(t)dt}.}$$

最後の方程式を積分すると、積分定数を 1 つ含む が見つかります。次に、積分して元の非同次 2 次方程式の完全な解を見つけます。この解は、次のように 2 つの積分定数を示します。 ${\displaystyle v'(t)}$${\displaystyle v'(t)}$$${\displaystyle y_{2}(t)=v(t)y_{1}(t).}$$

• パラメータの変化