半単純リー代数

数学において、リー代数は、単純リー代数の直和である場合に半単純である。(単純リー代数は、非ゼロの適切なイデアルを持たない非可換リー代数である。)

記事全体を通して、特に明記しない限り、リー代数は特性0の体上の有限次元リー代数です。そのようなリー代数では、 がゼロでない場合、次の条件は同等です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純です。
• キリング形式、κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y ))は非退化である。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$非ゼロのアーベルイデアルは存在しない。
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$非ゼロの解けるイデアルは存在しない。
• の根号（最大可解イデアル）はゼロです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

半単純性の重要性は、まずレヴィ分解から来ています。レヴィ分解は、すべての有限次元リー代数は、解けるイデアル（その根基）と半単純代数の半直積であるとしています。特に、解ける半単純な非ゼロリー代数は存在しません。

半単純リー代数は、可解リー代数とはまったく対照的に、非常にエレガントな分類を持つ。特性ゼロの代数閉体上の半単純リー代数は、ルート系によって完全に分類され、ルート系はディンキン図によって分類される。代数的に閉体でない体上の半単純代数は、代数閉包上の半単純代数として理解できるが、分類はいくぶん複雑である。実半単純リー代数の場合は実数形を参照のこと。実数形はエリー・カルタンによって分類された。

さらに、半単純リー代数の表現理論は、一般リー代数の表現理論よりもはるかに明確です。たとえば、半単純リー代数のジョルダン分解は、その表現におけるジョルダン分解と一致しますが、これは一般のリー代数には当てはまりません。

が半単純であれば、 です。特に、すべての線型半単純リー代数は の部分代数、つまり特殊線型リー代数です。 の構造の研究は、半単純リー代数の表現論の重要な部分を構成します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

複素数上の半単純リー代数は、ヴィルヘルム・キリング(1888–90) によって初めて分類されましたが、彼の証明は厳密さを欠いていました。彼の証明は、半単純実リー代数も分類したエリー・カルタン(1894) の博士論文で厳密なものになりました。これはその後改良され、現在のディンキン図による分類は、1947 年に当時 22 歳のユージン・ディンキンによって与えられました。いくつかの小さな修正 (特に JP セールによる) が行われました。しかし、証明の本質は変わっておらず、(Humphreys 1972) などの標準的な参考文献に記載されています。

• 半単純リー代数のあらゆるイデアル、商、積は、やはり半単純である。^[1]
• 半単純リー代数の中心は自明である（中心はアーベルイデアルであるため）。言い換えれば、随伴表現は単射である。さらに、像は^[2]上の微分であることが 判明している。したがって、は同型である。^{[3] （これは}ホワイトヘッドの補題の特殊なケースである。）${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}$
• 随伴表現は単射なので、半単純リー代数は随伴表現の下では線型リー代数である。リー代数は随伴表現を介しているとは限らないが、他のベクトル空間に関して既に線型であるため（アドーの定理）、多少の曖昧さが生じる可能性がある。しかし、実際には、そのような曖昧さはほとんど発生しない。
• が半単純リー代数であれば、 （半単純かつアーベルであるため）となる。^[4]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• 特性ゼロの体k上の有限次元リー代数が半単純となるのは、各体拡大に対して基底拡大が半単純となる場合のみである。^[5]したがって、たとえば、有限次元実リー代数が半単純となるのは、その複素化が半単純となる場合のみである。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{k}F}$${\displaystyle F\supset k}$

特性零の体上の有限次元ベクトル空間の各自己準同型写像 xは、半単純（すなわち代数閉包上で対角化可能）かつ冪零な部分 に一意に分解できる。

${\displaystyle x=s+n\ }$

sとn は互いに可換である。さらに、 s と n はそれぞれxの多項式である。これがxのジョルダン分解である。

上記は半単純リー代数 の随伴表現 に適用される。 が半単純（または冪零）演算子である場合、の元xは半単純（または冪零）であると言われる。 ^[6]の場合、抽象ジョルダン分解によれば、x は次のように一意に記述できる。 ${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle x=s+n}$

ここで は半単純、は冪零、 である。^[7]さらに、 がxと可換であれば、 と は両方とも可換である。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [s,n]=0}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle s,n}$

抽象的なジョルダン分解は、任意の表現ρが与えられたときに、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,}$

は、表現空間の自己準同型代数におけるρ( x )のジョルダン分解である。 ^{[8] （これは}ワイルの完全還元定理の結果として証明されている。ワイルの完全還元定理#応用：ジョルダン分解の保存を参照。）

を特性 0 の代数的に閉じた体上の (有限次元) 半単純リー代数とする。 の構造は、その上への特定の部分代数、カルタン部分代数の随伴作用によって記述できる。定義により、^{[9] の}カルタン部分代数(最大トーラル部分代数とも呼ばれる)は、各 に対してが対角化可能であるような最大部分代数である。結局のところ、はアーベル的であり、したがって のすべての演算子は同時に 対角化可能である。の各線型関数に対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle h\in {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|\operatorname {ad} (h)x:=[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ for all }}h\in {\mathfrak {h}}\}}$。

（は の中心化子であることに注意）すると、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

(最も証明が難しいのは です。標準的な証明はすべて の表現論におけるいくつかの事実を利用しています。たとえば、セールは、負の重みを持つ原始元を持つ - 加群は無限次元であるという事実を利用しており、 と矛盾しています。) ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}<\infty }$

交換関係 を とします。つまり、 はの標準基底に対応します。 ${\displaystyle h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$${\displaystyle [e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha },f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }}$${\displaystyle h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

の線形関数は、に対するの根と呼ばれます。 根は を張ります( の場合、 はゼロ演算子であるため、つまり、 は中心にあり、中心はゼロです)。 さらに、 の表現論から、 の次の対称性と積分特性が演繹されます。各 に対して、 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \alpha (h)=0,\alpha \in \Phi }$${\displaystyle \operatorname {ad} (h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$

は性質(1)と(2)を持つので、不動点集合は であり、これはが に対応する超平面に関する反射であることを意味する。上記は がルート系であることを意味する。 ${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }(\alpha )=-\alpha }$${\displaystyle \{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi }$

これは、各根が同じ符号の整数係数を持つの線形結合であるようなの基底を含むルート系の一般理論から導かれます。この根は単純根と呼ばれます。などとします。すると、元(シュヴァレー生成子と呼ばれる)はリー代数として生成します。さらに、それらは関係 (セール関係と呼ばれる) を満たします。、 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle e_{i}=e_{\alpha _{i}}}$${\displaystyle 3l}$${\displaystyle e_{i},f_{i},h_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})}$

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]=0,}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$。

これの逆も真です。つまり、上記のような生成元と関係によって生成されるリー代数は、上記のようなルート空間分解を持つ（有限次元の）半単純リー代数です（ がカルタン行列である場合）。これはセールの定理です。特に、2 つの半単純リー代数は、同じルート系を持つ場合、同型です。 ${\displaystyle [a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}}$

ルート システムの公理的性質とセールの定理の意味は、すべての可能なルート システムを列挙できることです。したがって、「すべての可能な」半単純リー代数 (特性 0 の代数的に閉じた体上の有限次元) が列挙されます。

ワイル群は、のによって生成されるの線型変換の群である。ワイル群は問題の重要な対称性である。例えば、 の任意の有限次元表現の重みはワイル群の下で不変である。^[11]${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

および対角行列のカルタン部分代数に対して、次のように 定義する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle \lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}}$、

ここで、 は対角線上に ある対角行列を表します。分解は次のように表されます。${\displaystyle d(a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

どこ

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C} }(e_{ij})}$

の標準（行列）基底を持つベクトルに対して、は- 行- 列の基底ベクトルを表します。 のこの分解には、関連するルート システムがあります。 ${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}}$

例えば分解 では${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}}$

そして関連するルートシステムは

${\displaystyle \Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}}$

分解する と${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

そして、関連するルートシステムは次のように与えられる。

${\displaystyle \Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}}$

#構造で述べたように、（またはより一般的には特性 0 の代数的に閉じた体）上の半単純リー代数は、そのカルタン部分代数に関連付けられたルート系によって分類され、ルート系は、そのディンキン図によって分類されます。半単純リー代数の例、つまり、そのディンキン図に由来する表記法を持つ古典的なリー代数の例は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$、特殊線型リー代数。
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$奇数次元の特殊直交リー代数。
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$、シンプレクティックリー代数。
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$偶数次元の特殊直交リー代数（）。${\displaystyle n>1}$

は 1 次元かつ可換であり、したがって半単純ではない ため、族の制限が必要になります。${\displaystyle n>1}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$

これらのリー代数は、 n が階数となるように番号が付けられます。これらの半単純リー代数のほとんどは実際には単純であり、これらの族のメンバーは、小さな階数でのいくつかの衝突を除いて、ほぼすべて異なります。たとえば、 と です。これら 4 つの族は、5 つの例外 ( E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、およびG ₂ )を除いて、実際には複素数上の唯一 の単純リー代数です。${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}}$

標数 0 の代数的に閉体上のすべての半単純リー代数は、定義により単純リー代数の直和であり、有限次元単純リー代数は、E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、G ₂の 5 つの例外を除いて 、 A _n、 B _n、 C _n、 D _{n の}4 つの族に分類されます。単純リー代数は、右側に示すように、連結されたディンキン図によって分類されます。一方、半単純リー代数は、必ずしも連結されていないディンキン図に対応します。この場合、図の各要素は、半単純リー代数を単純リー代数に分解した際の和に対応します。

分類は、カルタン部分代数(下記参照) とリー代数へのその随伴作用を考慮して進められます。作用のルート系は、元のリー代数を決定し、ディンキン図によって分類できる非常に制約された形式を持つ必要があります。詳細については、カルタン部分代数とルート系について説明している以下のセクションを参照してください。

この分類は数学における最もエレガントな結果の 1 つとして広く考えられています。公理の簡単なリストは、比較的短い証明によって、驚くべき構造を持つ完全だが自明ではない分類をもたらします。これは、はるかに複雑な有限単純群の分類と比較する必要があります。

4 つの族の列挙は冗長ではなく、A _n、B _n、C _n、D _nの単純代数のみで構成されます。番号を下げ始めると、列挙は冗長になり、単純リー代数間の例外同型性があり、これはディンキン図の同型性に反映されます。 E _{n は}下方に拡張することもできますが、 E ₆未満では他の例外でない代数と同型です。 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n\geq 4}$

非代数的に閉じた体では、分類はより複雑になる。代数的閉包上の単純リー代数を分類し、次にこれらのそれぞれについて、この形式（閉包上）を持つ元の体上の単純リー代数を分類する。たとえば、単純実リー代数を分類するには、与えられた複素化を持つ実リー代数を分類する。これは複素リー代数の実形式として知られている。これはサタケ図によって行うことができる。サタケ​​図は、追加データ（「装飾」）を持つディンキン図である。^[12]

を特性 0 の代数的に閉じた体上の (有限次元) 半単純リー代数とします。すると、#Structure にあるように、はルートシステムです。 の単純ルートを選択します。のルートは正と呼ばれ、非負の整数係数を持つ単純ルートの線形結合である場合はで表されます。の最大可解部分代数である をボレル部分代数とします。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha >0}$${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

V を（おそらく無限次元の）単純 - 加群とする。V が- 重みベクトルを許容する場合、^[13]それはスケーリングを除いて一意であり、Vの最高重みベクトルと呼ばれる。 これは- 重みベクトルでもあり、 の線型関数の - 重みはVの最高重みと呼ばれる。 この時の基本的だが自明ではない事実^[14]は、(1) 各線型関数 に対して、最高重みとしてを持つ単純- 加群が存在すること、および (2) 同じ最高重みを持つ 2 つの単純加群は同値である、ということである。 つまり、 と、ボレル重みベクトルを許容する 単純 - 加群の同値類の集合の間には一対一の関係が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V^{\mu }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

応用面では、有限次元単純- モジュール（有限次元既約表現）に関心が寄せられることが多い。これは特に、リー群のリー代数（またはそのようなものの複素化）である場合に当てはまる。なぜなら、リー対応を介して、障害が克服されると、リー代数表現をリー群表現に統合できるからである。次の基準は、この必要性に対応するものである。正のワイルチェンバーとは、が となる一意のベクトルである凸錐を意味する。この基準は次のようになる。^[15]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}}$${\displaystyle h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]}$${\displaystyle \alpha (h_{\alpha })=2}$

• ${\displaystyle \dim V^{\mu }<\infty }$それぞれの正の根 に対して、(1) が整数であり、(2)が に含まれる場合、かつその場合に限ります。${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \mu (h_{\alpha })}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C}$

上記の同値条件を満たす線形関数は、支配的な積分ウェイトと呼ばれます。したがって、要約すると、支配的な積分ウェイトと有限次元単純- 加群の同値類の間には一対一の関係があり、その結果は最高ウェイトの定理として知られています。一方、有限次元単純加群のキャラクターは、ワイル キャラクター公式によって計算されます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ワイルの定理によれば、特性 0 の体上では、半単純リー代数のあらゆる有限次元加群は完全に可約である、つまり、単純加群の直和である。したがって、上記の結果は、半単純リー代数の有限次元表現に適用される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

特性ゼロを持ちながら代数的に閉じていない体上の半単純リー代数については、特性ゼロの代数的に閉じた体上のもののような一般的な構造理論は存在しません。しかし、実数体上では、依然として構造結果が存在します。

を有限次元の実半単純リー代数とその複素化（これも半単純）とします。実リー代数は の実形式と呼ばれます。実形式は、その上のキリング形式が負定値である場合にコンパクト形式と呼ばれます。つまり、必然的にコンパクト リー群のリー代数になります（そのため、この名前が付けられています）。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

がコンパクト形式であり、最大アーベル部分空間であると仮定する。 は歪エルミート行列で構成され、 上で対角化可能で、虚数固有値を持つことを示すことができる（たとえば、がコンパクトリー群のリー代数であるという事実から）。したがって、は のカルタン部分代数であり、 はルート空間分解となる（cf. #構造） ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

ここで、各 は上で実数値です。したがって、 は実ベクトル空間 上の実線形汎関数と同一視できます。 ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$${\displaystyle i{\mathfrak {h}}}$

たとえば、 とがすべての対角行列の部分空間をとるとします。注意 を に対してが与える上の線形関数とします。すると、各 に対して、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle e_{i}(H)=h_{i}}$${\displaystyle H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots ,h_{n})}$${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle [H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}}$

ここで、は - 番目のスポットに 1 を持ち、他のスポットには 0 を持つ行列です。したがって、各根は形式であり、根空間分解は行列の分解です。^[16]${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.}$

は必ずしもコンパクト形式ではないと仮定します（つまり、キリング形式のシグネチャはすべて負ではありません）。さらに、カルタン反転があり、が の固有空間分解であるとします。ここで、 はそれぞれ 1 と -1 の固有空間です。たとえば、と が負の転置である場合、 となります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)}$

を最大アーベル部分空間とする。ここで、は対称行列（適切な内積に関して）から成り、したがって、の演算子は同時に対角化可能であり、実固有値を持つ。代数的に閉じた基底体に対する議論を繰り返すと、分解（制限ルート空間分解と呼ばれる）が得られる。^[17]${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

どこ

• の要素は制限根と呼ばれ、${\displaystyle \Phi }$
• ${\displaystyle \theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$任意の線形関数 に対して、特に、${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle -\Phi \subset \Phi }$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})}$。

さらに、はルート システムですが、必ずしも簡約されたルートではありません (つまり、両方のルートが発生することもあります)。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \alpha ,2\alpha }$

の場合、 は の対角部分代数と見なすことができます。これは、対角要素の合計が 0 になる対角行列で構成されます。は次元なので、の階数は であることがわかります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$${\displaystyle n-1}$

この場合のルートベクトルはを持つ行列とみなすことができ、ここでは の部分に1を持ち、それ以外は0を持つ行列である。^[18]が の対角要素を持つ対角行列である場合、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle E_{i,j}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle [H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}}$。

したがって、の根は次式で与えられる 線形関数である。${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \alpha _{i,j}}$

${\displaystyle \alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}}$。

双対と同一視した後、根は合計がゼロになる -組の空間のベクトルになります。これが、従来のラベル付けで 知られているルート システムです。${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle \alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n-1}}$

根に関連付けられた反射は、と の対角要素を転置することによってに作用します。したがって、ワイル群は、の行列の対角要素を置換することによって作用する、要素上の単なる置換群です。 ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

半単純リー代数は、ある程度の一般化が可能です。まず、半単純リー代数に当てはまる多くの記述は、より一般的には簡約リー代数にも当てはまります。抽象的には、簡約リー代数とは、随伴表現が完全に簡約可能な代数です。具体的には、簡約リー代数は、半単純リー代数とアーベルリー代数の直和です。たとえば、は半単純で、は簡約的です。半単純リー代数の多くの特性は、簡約可能性にのみ依存します。 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

複素半単純/簡約リー代数の多くの性質は、代数的に閉じた体上の半単純/簡約リー代数だけでなく、より一般的には他の体上の分割半単純/簡約リー代数にも当てはまります。代数的に閉じた体上の半単純/簡約リー代数は常に分割されますが、他の体では必ずしもそうとは限りません。分割リー代数は、代数的に閉じた体上の半単純リー代数と本質的に同じ表現理論を持ちます。たとえば、分割カルタン部分代数は、代数的に閉じた体上のカルタン部分代数と同じ役割を果たします。これは、たとえば分割半単純/簡約リー代数の表現を分類する (Bourbaki 2005) で採用されているアプローチです。

連結リー群は、そのリー代数が半単純リー代数、つまり単純リー代数の直和である場合に半単純と呼ばれます。連結リー代数が単純で自明な (1 次元) リー代数の直和である場合に簡約と呼ばれます。簡約群は、代数、幾何学、物理学における多くの数学的オブジェクトの対称性として自然に発生します。たとえば、n次元の実ベクトル空間の対称性のグループ(つまり、可逆行列のグループ) は簡約です。 ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$

• リー代数
• ルートシステム
• リー代数表現
• コンパクトグループ
• シンプルライグループ
• ボレル部分代数
• ヤコブソン・モロゾフの定理