ゼロの位相的因子

数学において、バナッハ代数の元は、次のような 元の列が存在するとき、ゼロの位相因子と呼ばれる。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...}$${\displaystyle A}$

1. この数列はゼロ元に収束するが、${\displaystyle zx_{n}}$
2. シーケンスはゼロ要素に収束しません。${\displaystyle x_{n}}$

そのようなシーケンスが存在する場合、すべての に対してであると仮定できます。 ${\displaystyle \left\Vert \ x_{n}\right\|=1}$${\displaystyle n}$

が可換でない場合、 はゼロの「左」位相因子と呼ばれ、同様にゼロの「右」位相因子を定義することができます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle z}$

• に単位元がある場合、 の可逆元はの開部分集合を形成し、可逆でない元は相補閉部分集合となります。これら 2 つの集合の境界上の任意の点は、ゼロの左位相因子と右位相因子の両方になります。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• 特に、任意の準零元はゼロの位相的因子である（例えば、ボルテラ演算子）。
• バナッハ空間 上の作用素は、 には入射的だが、には射影的ではないが、その像が に稠密である場合、ゼロの左位相因子です。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

位相的ゼロ因子の概念は、任意の位相的代数に一般化できます。問題の代数が第 1 可算でない場合は、定義で使用されるシーケンスを ネットに置き換える必要があります。