Sマトリックス

物理学において、S行列または散乱行列は、散乱過程を経る物理システムの初期状態と最終状態を関連付ける行列です。これは、量子力学、散乱理論、量子場理論(QFT) で使用されます。

より正式には、QFT の文脈では、S行列は、物理状態のヒルベルト空間における漸近的に自由な粒子状態 (インステートとアウトステート) の集合を連結するユニタリ行列として定義されます。多粒子状態は、ローレンツ変換によって、以下の式(1)で規定されるように、 1 粒子状態のテンソル積、または物理学用語では直積として変換される場合、自由(または非相互作用)であると言われます。漸近的に自由とは、状態が遠い過去または遠い未来のいずれかでこの外観を持つことを意味します。

S行列は、漸近的に解くことができ、事象の地平線を持たない任意の背景 (時空) に対して定義できますが、ミンコフスキー空間の場合は単純な形式になります。この特殊なケースでは、ヒルベルト空間は、非同次ローレンツ群(ポアンカレ群)の既約なユニタリ表現の空間です。S行列は、 (遠い過去) と(遠い未来)の間の発展演算子です。これは、エネルギー密度がゼロ (または粒子の分離距離が無限大) の極限でのみ定義されます。 ${\displaystyle t=-\infty}$${\displaystyle t=+\infty }$

ミンコフスキー空間の量子場理論に質量ギャップがある場合、漸近過去の状態と漸近未来の状態は両方ともフォック空間によって記述されることが示されます。

S行列理論の初期要素は、ポール・ディラックの1927年の論文「原子核の量子力学について」に見られる。 ^{[1] [2]} S行列は、ジョン・アーチボルド・ホイーラーが1937年の論文「共鳴群構造法による軽原子核の数学的記述について」で初めて適切に導入した。^[3]この論文でホイーラーは散乱行列、つまり「積分方程式の任意の特定解の漸近挙動と標準形の解の漸近挙動」を結び付ける係数のユニタリ行列を導入したが、^[4]完全には発展させなかった。

1940年代、ヴェルナー・ハイゼンベルクは独自にS行列の考えを発展させ、実証した。当時の量子場理論には問題となる相違が存在していたため、ハイゼンベルクは理論の発展に伴う将来の変化に影響されない理論の本質的な特徴を分離しようと考えた。そうすることで、彼はユニタリな「特性」 S行列を導入するに至った。^[4]

しかし、今日では、正確なS行列の結果は、共形場理論、可積分系、および量子場理論と弦理論のいくつかのさらなる領域にとって重要です。S行列は場の理論的処理の代替ではなく、むしろそのような最終結果を補完するものです。

高エネルギー粒子物理学では、散乱実験におけるさまざまな結果の確率を計算することに関心があります。これらの実験は、次の 3 つの段階に分けられます。

1. 入射する粒子の集合（通常は高エネルギーを持つ 2 種類の粒子）を衝突させます。
2. 入射粒子が相互作用できるようにします。これらの相互作用により、存在する粒子の種類が変化する場合があります (たとえば、電子と陽電子が 消滅すると、2 つの光子が生成される場合があります)。
3. 結果として放出される粒子を測定します。

入射粒子が（相互作用を通じて）射出粒子に変換されるプロセスは散乱と呼ばれます。粒子物理学では、これらのプロセスの物理理論は、異なる入射粒子が異なるエネルギーで衝突したときに、異なる射出粒子の確率を計算できなければなりません。

量子場理論のS行列はまさにこれを実現します。これらの場合には、小エネルギー密度近似が有効であると想定されます。

S行列は、量子力学における遷移確率振幅や、さまざまな相互作用の断面積と密接に関連しています。S行列の要素(個々の数値エントリ)は散乱振幅として知られています。複素エネルギー平面におけるS行列の極は、束縛状態、仮想状態、または共鳴と同一視されます。複素エネルギー平面におけるS行列の分岐カットは、散乱チャネルの開口部に関連付けられています。

量子場理論に対するハミルトニアンアプローチでは、 S行列は相互作用図における積分ハミルトニアンの時間順 指数として計算される。また、ファインマンの経路積分を使用して表現されることもある。どちらの場合も、S行列の摂動計算によりファインマン図が得られる。

散乱理論では、S行列は、ハイゼンベルク図において自由粒子のインステートを自由粒子のアウトステート（散乱チャネル）にマッピングする演算子です。相互作用（少なくとも、最も興味深い相互作用）を正確に記述できないことが多いため、これは非常に便利です。

説明のために、まずS行列が 2 次元である単純なプロトタイプを検討します。このプロトタイプでは、鋭いエネルギーEを持つ粒子が、1 次元量子力学の規則に従って、局所的なポテンシャルVから散乱します。この単純なモデルは、より一般的なケースのいくつかの特徴をすでに示していますが、扱いやすくなっています。

各エネルギーE は、Vに依存する行列S = S ( E )を生成します。したがって、比喩的に言えば、全S行列は、適切な基底で、与えられたVの対角線に沿った2 × 2ブロックを除くすべての要素がゼロである「連続行列」として視覚化できます。

エネルギーEの量子粒子ビームを受ける局所的な 1 次元ポテンシャル障壁 V ( x )を考えます。これらの粒子はポテンシャル障壁に左から右に入射します。

ポテンシャル障壁の外側のシュレーディンガー方程式の解は、 ポテンシャル障壁の左側の領域では で、 ポテンシャル障壁の右側の領域では で与えられる 平面波です。ここで、 は波動ベクトル です。時間依存性は概要では必要ないため省略します。係数Aの項は入射波を表し、係数Cの項は出射波を表します。Bは反射波を表します。入射波は正の方向 (左から) に移動するように設定しているため、Dはゼロであり省略できます。 $${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$$$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)=Ce^{ikx}+De^{-ikx}}$$$${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$$

「散乱振幅」、すなわち出射波と入射波の遷移の重なりは、S行列を定義する線形関係である。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}}.}$$

上記の関係は 次の ように表すことができます。S の要素は、ポテンシャル障壁V ( x )の散乱特性を完全に特徴付けます。 $${\displaystyle \Psi_{\rm {out}}=S\Psi_{\rm {in}}}$$$${\displaystyle \Psi _{\rm {out}}={\begin{pmatrix}B\\C\end{pmatrix}},\quad \Psi _{\rm {in}}={\begin{pmatrix}A\\D\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}.}$$

S行列のユニタリー特性は、量子力学における確率流の保存に直接関係しています。

波動関数ψ ( x )の確率電流密度Jは次のように定義される。 障壁の左側 の 確率電流密度は次のように定義される。一方、障壁の右側の 確率電流密度は次のように定義される。 $${\displaystyle J={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right).}$$${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)}$${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)}$$${\displaystyle J_{\rm {L}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right),}$$${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)}$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)}$$${\displaystyle J_{\rm {R}}(x)={\frac {\hbar k}{m}}\left(|C|^{2}-|D|^{2}\right).}$$

確率電流の保存については、J _L = J _Rです。これは、S行列がユニタリ行列であることを意味します。

ポテンシャルV ( x )が実数の場合、システムは時間反転対称性を持ちます。この条件下では、ψ ( x ) がシュレーディンガー方程式の解である場合、ψ *( x )も解になります。

時間反転解は、 ポテンシャル障壁の左側の領域では で与えられ、 ポテンシャル障壁の右側の領域では で与えられます。ここで、係数B *、C *の項は入射波を表し、係数A *、D *の項は出射波を表します。 $${\displaystyle \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=A^{*}e^{-ikx}+B^{*}e^{ikx}}$$$${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)=C^{*}e^{-ikx}+D^{*}e^{ikx}}$$

これらは再びS行列 によって関連付けられます。 つまり 、これらの関係 を 合わせると条件が生まれます。 この条件は、ユニタリー関係と相まって、時間反転対称性の結果として S行列が対称であることを意味します。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{*}\\D^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{*}\\C^{*}\end{pmatrix}}\,}$$
$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*}.}$$$${\displaystyle \Psi _{\rm {in}}^{*}=S\Psi _{\rm {out}}^{*},\quad \Psi _{\rm {out}}=S\Psi _{\rm {in}}}$$$${\displaystyle S^{*}S=I}$$$${\displaystyle S^{T}=S.}$$

対称性とユニタリー性を組み合わせると、S 行列は次の形式で表すことができます。 ここで、 および です。したがって、S 行列は 3 つの実数パラメータによって決定されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{i\varphi }e^{i\delta }\cdot r&e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}\\e^{i\varphi }{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{i\varphi }e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}=e^{i\varphi }{\begin{pmatrix}e^{i\delta }\cdot r&{\sqrt {1-r^{2}}}\\{\sqrt {1-r^{2}}}&-e^{-i\delta }\cdot r\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$${\displaystyle r\in [0;1]}$

伝達行列は 散乱ポテンシャルの右側の平面波と左側の平面波とを関連付けます。 [ 5 ^]${\displaystyle M}$${\displaystyle Ce^{ikx}}$${\displaystyle De^{-ikx}}$${\displaystyle Ae^{ikx}}$${\displaystyle Be^{-ikx}}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}C\\D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}\\M_{21}&M_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}}}$$そしてその成分はS行列の成分から次のように導くことができる: ^[6] および、ここで時間反転対称性が仮定されている。 ${\displaystyle M_{11}=1/S_{12}^{*}=1/S_{21}^{*}{,}\ M_{22}=M_{11}^{*}}$${\displaystyle M_{12}=-S_{11}^{*}/S_{12}^{*}=S_{22}/S_{12}{,}\ M_{21}=M_{12}^{*}}$

時間反転対称性の場合、転送行列は3 つの実数パラメータで表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}}}}{\begin{pmatrix}e^{i\varphi }&-r\cdot e^{-i\delta }\\-r\cdot e^{i\delta }&e^{-i\varphi }\end{pmatrix}}}$$（r = 1の場合、左側と右側の間に接続はありません ）${\displaystyle \delta ,\varphi \in [0;2\pi ]}$${\displaystyle r\in [0;1]}$

質量 m を持つ粒子が (静的な)有限の正方形井戸に近づく場合の時間反転対称性を持つ 1 次元の非相対論的問題には、次の式を 持つポテンシャル関数Vがあります。 散乱は、自由粒子の波束を、左側から (遠く離れて) 来る平面波または同様に右側から (遠く離れて) 来る平面波の波数を持つ平面波に分解することによって解くことができます。 $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}-V_{0}&{\text{for}}~~|x|\leq a~~(V_{0}>0)\quad {\text{and}}\\[1ex]0&{\text{for}}~~|x|>a\end{cases}}}$$${\displaystyle A_{k}\exp(ikx)}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle D_{k}\exp(-ikx)}$

波数kの平面波のS行列の解は^[6] であり、  したがってであり、したがって この場合はである。 $${\displaystyle S_{12}=S_{21}={\frac {\exp(-2ika)}{\cos(2la)-i\sin(2la){\frac {l^{2}+k^{2}}{2kl}}}}}$$${\displaystyle S_{11}=S_{12}\cdot i\sin(2la){\frac {l^{2}-k^{2}}{2kl}}}$${\displaystyle e^{i\delta }=\pm i}$${\displaystyle -e^{-i\delta }=e^{i\delta }}$${\displaystyle S_{22}=S_{11}}$

ここで、平面波に関連付けられたエネルギー固有値は一定に保たれる必要があるため、正方形井戸内の平面波の（増加した）波数は次のようになります。${\displaystyle l={\sqrt {k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}}}}$ ${\displaystyle E_{k}}$${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}l^{2}}{2m}}-V_{0}}$

トランスミッションは${\displaystyle T_{k}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}={\frac {1}{(\cos(2la))^{2}+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}+k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}={\frac {1}{1+(\sin(2la))^{2}{\frac {(l^{2}-k^{2})^{2}}{4k^{2}l^{2}}}}}}$

の場合、したがって、波数kの平面波は、反射せずに井戸を通過します。${\displaystyle \sin(2la)=0}$${\displaystyle \cos(2la)=\pm 1}$${\displaystyle S_{11}=S_{22}=0}$${\displaystyle |S_{21}|=|S_{12}|=1}$${\displaystyle k^{2}+{\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{4a^{2}}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

正方形バリアは正方形ウェルに似ていますが、の場合が異なる点が異なります。 ${\displaystyle V(x)=+V_{0}>0}$${\displaystyle |x|\leq a}$

障壁から遠く離れた 平面波（波数kまたは− k ）のエネルギー固有値に応じて、3つの異なるケースがあります。${\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

ポテンシャル障壁の左側からの透過係数は、 D = 0のとき、 $${\displaystyle T_{\rm {L}}={\frac {|C|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{21}|^{2}.}$$

ポテンシャル障壁の左側からの反射係数は、D = 0のとき、 $${\displaystyle R_{\rm {L}}={\frac {|B|^{2}}{|A|^{2}}}=|S_{11}|^{2}.}$$

同様に、ポテンシャル障壁の右側からの透過係数は、A = 0のとき、 $${\displaystyle T_{\rm {R}}={\frac {|B|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{12}|^{2}.}$$

ポテンシャル障壁の右側からの反射係数は、A = 0のとき、 $${\displaystyle R_{\rm {R}}={\frac {|C|^{2}}{|D|^{2}}}=|S_{22}|^{2}.}$$

透過係数と反射係数の関係は 、 この恒等式はS行列 のユニタリー性特性の結果です。 $${\displaystyle T_{\rm {L}}+R_{\rm {L}}=1}$$$${\displaystyle T_{\rm {R}}+R_{\rm {R}}=1.}$$

時間反転対称性により、S 行列は対称となり、したがってとなります。 ${\displaystyle T_{\rm {L}}=|S_{21}|^{2}=|S_{12}|^{2}=T_{\rm {R}}}$${\displaystyle R_{\rm {L}}=R_{\rm {R}}}$

自由粒子 V ( x ) = 0の場合、S行列は^[8] V ( x )がゼロと異なる 場合は常に、 S行列は上記の形式から 逸脱し、この逸脱は2つのエネルギー複素関数rとt によってパラメータ化されます。ユニタリー性から、これら2つの関数の間には関係があります。 $${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle S={\begin{pmatrix}2ir&1+2it\\1+2it&2ir^{*}{\frac {1+2it}{1-2it^{*}}}\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle |r|^{2}+|t|^{2}=\operatorname {Im} (t).}$$

この恒等式の 3 次元での類似物は光学定理として知られています。

S行列を定義する簡単な方法は、相互作用図を考慮することから始まります。^[9]ハミルトニアンH を自由部分H ₀と相互作用V、H = H ₀ + Vに分割します。この図では、演算子は自由場演算子として動作し、状態ベクトルは相互作用Vに応じたダイナミクスを持ちます。 は、自由な初期状態から進化した状態を表します 。S行列 要素は、この状態の最終状態への投影として定義されます 。したがって、 $${\displaystyle \left|\Psi (t)\right\rangle }$$$${\displaystyle \left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$$${\displaystyle \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|.}$$$${\displaystyle S_{\rm {fi}}\equiv \lim _{t\rightarrow +\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}|\Psi (t)\right\rangle \equiv \left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|S\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$

ここで、SはS演算子である。この定義の大きな利点は、相互作用図における状態を発展させる時間発展演算子 Uが正式に知られていることである。 ^[10] ここ で、Tは時間順序積を表す。この演算子で表現され、 Uに関する知識を使用して展開すると、 ダイソン級数が得られる。 または、Vがハミルトン密度として与えられる場合は、 $${\displaystyle U(t,t_{0})=Te^{-i\int _{t_{0}}^{t}d\tau V(\tau )},}$$$${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }\left\langle \Phi _{\rm {f}}\right|U(t_{2},t_{1})\left|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle ,}$$$${\displaystyle S=U(\infty ,-\infty ).}$$ $${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dt_{1}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dt_{n}T\left[V(t_{1})\cdots V(t_{n})\right],}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right].}$$

Sは特別な時間発展演算子であるため、ユニタリである。任意の初期状態と任意の最終状態に対して、 $${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\left\langle \Phi _{\rm {f}}|S|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle =\left\langle \Phi _{\rm {f}}\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}^{4}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{n}^{4}T\left[{\mathcal {H}}(x_{1})\cdots {\mathcal {H}}(x_{n})\right]\right|\Phi _{\rm {i}}\right\rangle .}$$

このアプローチは、潜在的な問題が隠蔽される点でいくぶんナイーブです。^[11]これは意図的なものです。このアプローチは実際には機能しており、技術的な問題のいくつかは他のセクションで取り上げられています。

ここでは、上記の相互作用図アプローチでは無視された潜在的な問題に対処するために、もう少し厳密なアプローチが採用されています。最終的な結果は、もちろん、より迅速なルートを取った場合と同じです。このためには、イン状態とアウト状態の概念が必要です。これらは、真空からと自由粒子状態からの 2 つの方法で開発されます。言うまでもなく、2 つのアプローチは同等ですが、異なる角度から問題を解明します。

もしa ^† ( k )が生成演算子ならば、そのエルミート随伴演算子は消滅演算子であり、真空を破壊する。 $${\displaystyle a(k)\left|*,0\right\rangle =0.}$$

ディラック記法では、 真空量子状態、すなわち実粒子のない状態 として定義します。アスタリスクは、すべての真空が必ずしも等しいわけではなく、ヒルベルト空間のゼロ状態0と等しくないことを意味しています。すべての真空状態は、正式にはポアンカレ不変、つまり並進、回転、ブーストに対して不変であると仮定されます^[11] 。 ここで、 P ^{μ は}空間と時間における並進の生成元であり、M ^{μν は}ローレンツ変換の生成元です。したがって、真空の記述は参照フレームに依存しません。定義される in 状態と out 状態に関連付けられているのは、inフィールド演算子Φ _iとout フィールド演算子(別名フィールド) Φ _oです。ここでは、表記法の煩雑さを最小限に抑えて例示するために、最も単純なケース、つまりスカラー理論に注目します。in フィールドと out フィールドは、 自由なクライン–ゴルドン方程式を満たします 。これらの場は自由場と同じ等時間交換関係（ETCR）を持つと仮定される 。 ここで、 π _{i , j は}Φ _{i , j}と正準共役な場である。入場と出場には、生成演算子と消滅演算子の2つのセット、a ^† _i ( k )とa ^† _f ( k )が関連しており、同じヒルベルト空間で、 2つの異なる完全集合（フォック空間、初期空間i、最終空間f ）に対して作用する。これらの演算子^は通常の交換規則を満たす。 $${\displaystyle |*,0\rangle }$$$${\displaystyle P^{\mu }|*,0\rangle =0,\quad M^{\mu \nu }|*,0\rangle =0}$$$${\displaystyle (\Box ^{2}+m^{2})\phi _{\rm {i,o}}(x)=0,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ),\\{[\phi _{\rm {i,o}}(x),\phi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}&={[\pi _{\rm {i,o}}(x),\pi _{\rm {i,o}}(y)]}_{x_{0}=y_{0}}=0,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ')]}&=i\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} ),\\{[a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}(\mathbf {p'} )]}&={[a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p} ),a_{\rm {i,o}}^{\dagger }(\mathbf {p'} )]}=0.\end{aligned}}}$$

生成演算子がそれぞれの真空と、入出状態の粒子数が有限の状態に対して行う作用は、正規化の問題を無視して次のように表される 。一般的なn粒子状態が どのように正規化されるかについては、次の節を参照のこと。初期空間と最終空間は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle &=a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|i,0\right\rangle ,\\\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle &=a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|f,0\right\rangle ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {i}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{\rm {i}}^{\dagger }(k_{n})\left|\mathrm {i} ,0\right\rangle \},}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {f}}=\operatorname {span} \{\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{\rm {f}}^{\dagger }(p_{n})\left|\mathrm {f} ,0\right\rangle \}.}$$

漸近状態は、明確に定義されたポアンカレ変換特性を持つと仮定される。つまり、それらは1粒子状態の直積として変換すると仮定される。^[13]これは非相互作用場の特性である。このことから、漸近状態はすべて運動量演算子P ^μの固有状態であることがわかる。^[11] 特に、それらは完全ハミルトニアンの固有状態である。 $${\displaystyle P^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle =k_{1}^{\mu }+\cdots +k_{m}^{\mu }\left|\mathrm {i} ,k_{1}\ldots k_{m}\right\rangle ,\quad P^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =p_{1}^{\mu }+\cdots +p_{n}^{\mu }\left|\mathrm {f} ,p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle .}$$$${\displaystyle H=P^{0}.}$$

真空は通常、安定かつ唯一であると仮定されている。^{[11] [注1]} $${\displaystyle |\mathrm {i} ,0\rangle =|\mathrm {f} ,0\rangle =|*,0\rangle \equiv |0\rangle .}$$

相互作用は断熱的にオンとオフに切り替わると想定されます。

これ以降はハイゼンベルク描像を採用する。この描像では、状態は時間に依存しない。したがって、ハイゼンベルク状態ベクトルは粒子システムの完全な時空履歴を表す。^[13] in 状態と out 状態のラベル付けは、漸近的な出現を指す。状態Ψ _{α , in は、} t → −∞のときに粒子内容が集合的にαで表されることによって特徴付けられる。同様に、状態Ψ _{β , out は、}t → +∞に対してβで表される粒子内容を持つ。in 状態と out 状態、および相互作用状態が同じヒルベルト空間に存在するという仮定を使用し、正規化された in 状態と out 状態の完全性を仮定すると (漸近的完全性の公理^[11] )、初期状態は最終状態の基底で展開できる (またはその逆)。明示的な表現は、より多くの表記法と用語が導入された後で示される。展開係数は、以下で定義される S行列要素とまったく同じである。

ハイゼンベルク描像では状態ベクトルは時間的に一定ですが、それが表す物理的状態は一定ではありません。システムがt = 0 の時点で状態Ψにあることが判明した場合、 t = τの時点で状態U ( τ )Ψ = e ^{− iHτ} Ψにあることが判明します。これは (必ずしも) 同じハイゼンベルク状態ベクトルではありませんが、同等の状態ベクトルであり、測定時に、非ゼロの係数による展開からの最終状態の 1 つであることがわかります。τ を変化させると、観測されたΨ (測定されていない) が確かにシュレーディンガー描像の状態ベクトルであることがわかります。測定を十分な回数繰り返して平均化すると、 t = τの時点でt = 0の時点と同じ状態ベクトルが実際に見つかると言えます。これは、上記の in 状態から out 状態への展開を反映しています。

この観点から、典型的な散乱実験がどのように行われるかを考える必要がある。最初の粒子は、相互作用しないほど遠く離れた、明確に定義された状態で準備される。それらは何らかの方法で相互作用するように作られ、最後の粒子は相互作用しなくなるほど遠く離れたときに記録される。その考え方は、遠い過去に自由粒子状態として現れたハイゼンベルク像内の状態を探すことである。これが in 状態となる。同様に、out 状態は遠い将来に自由粒子状態として現れる状態となる。^[13]

このセクションの一般的な参考文献であるWeinberg (2002)の表記法を使用します。一般的な非相互作用多粒子状態は 次 のように表されます。$${\displaystyle \Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots },}$$

• pは運動量、
• σはスピンz成分、または質量がゼロの場合はヘリシティ、
• n は粒子種です。

これらの状態は、 として正規化されます 。 順列は、 s ∈ S k が k 個のオブジェクトの順列 (k 粒子状態の場合) である場合 、非ゼロの項が生成されます。 s が奇数のフェルミオン転置を含む場合を除いて符号はプラスで、その場合_はマイナスです。表記は通常 省略され、1 つのギリシャ文字が状態を表す集合全体を表します。 省略形では、正規化は次のようになります。 自由粒子状態にわたって積分する場合、この表記法では、 と書きます 。ここで、合計には、粒子タイプ インデックスの順列を法として 2 つの項が等しくならない項のみが含まれます。 求められる状態の集合は完全 であると考えられます。 これは として表現され、 と言い換えることができます 。ここで 、各固定されたαに対して、右辺は状態αへの射影演算子です。 不均一なローレンツ変換(Λ, a )の下では、フィールドは次の規則に従って変換されます。 $${\displaystyle \left(\Psi _{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots },\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\right)=\delta ^{3}(\mathbf {p} _{1}'-\mathbf {p} _{1})\delta _{\sigma _{1}'\sigma _{1}}\delta _{n_{1}'n_{1}}\delta ^{3}(\mathbf {p} _{2}'-\mathbf {p} _{2})\delta _{\sigma _{2}'\sigma _{2}}\delta _{n_{2}'n_{2}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.}$$$${\displaystyle n_{s(i)}'=n_{i},\quad 1\leq i\leq k,}$$$${\displaystyle \left(\Psi _{\alpha '},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha ).}$$$${\displaystyle d\alpha \cdots \equiv \sum _{n_{1}\sigma _{1}n_{2}\sigma _{2}\cdots }\int d^{3}p_{1}d^{3}p_{2}\cdots ,}$$$${\displaystyle \Psi =\int d\alpha \ \Psi _{\alpha }\left(\Psi _{\alpha },\Psi \right),}$$$${\displaystyle \int d\alpha \ \left|\Psi _{\alpha }\right\rangle \left\langle \Psi _{\alpha }\right|=1,}$$