時間発展

時間発展は、時間の経過によって引き起こされる状態の変化であり、内部状態を持つシステム（状態のあるシステムとも呼ばれる）に適用されます。この定式化では、時間は連続的なパラメーターである必要はなく、離散的または有限である可能性があります。古典物理学では、剛体の集合の時間発展は古典力学の原理によって決まります。最も基本的な形では、これらの原理は、物体に作用する力とニュートンの運動の法則によって与えられる加速度との関係を表します。これらの原理は、ハミルトン力学またはラグランジアン力学によってより抽象的に同等に表現できます。

時間発展の概念は、他の状態のあるシステムにも適用できます。たとえば、チューリング マシンの動作は、マシンの読み取り/書き込みヘッドの位置を含むテープ (または複数のテープ) の状態と、マシンの制御状態の時間発展と見なすことができます。この場合、時間は離散的なステップであると考えられます。

状態のあるシステムは、多くの場合、状態または観測可能な値の観点から二重の記述を持ちます。このようなシステムでは、時間発展は観測可能な値の変化を指すこともあります。これは、シュレーディンガー図とハイゼンベルク図が（ほとんど）^{[説明が必要]}時間発展の同等の記述である量子力学において特に重要です。

状態空間Xを持つシステムを考えてみましょう。その状態空間Xの発展は決定論的かつ可逆的です。具体的には、時間も実数集合 Rにわたるパラメータであると仮定します。この場合、時間発展は一組の全単射状態変換 によって与えられます。

${\displaystyle (\operatorname {F} _{t,s}\colon X\rightarrow X)_{s,t\in \mathbb {R} }}$。

F _{t , s} ( x ) は、時刻tにおけるシステムの状態であり、時刻sにおける状態はxである。次の恒等式が成り立つ。

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}$

これがなぜ正しいかを確認するために、x ∈ Xが時刻sにおける状態であると仮定します。すると、 F の定義により、 F _{t , s} ( x ) は時刻tにおけるシステムの状態となり、その結果、定義をもう一度適用すると、 F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) は時刻uにおける状態となります。しかし、これは F _{u , s} ( x ) でもあります。

数理物理学のいくつかの文脈では、写像 F _{t , s}は伝播演算子または単に伝播子と呼ばれる。古典力学では、伝播子は物理システムの位相空間上で動作する関数である。量子力学では、伝播子は通常ヒルベルト空間上のユニタリ演算子である。伝播子は積分ハミルトニアンの時間順序指数として表現できる。時間発展の漸近特性は散乱行列によって与えられる。^[1]

区別された伝播関数を持つ状態空間は、動的システムとも呼ばれます。

時間発展が均質的であると言うことは、

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}}$すべてに対して。${\displaystyle u,t\in \mathbb {R} }$

同次系の場合、写像 G _t = F _{t ,0は}Xの1パラメータ変換群を形成し、つまり

${\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}$

非可逆システムの場合、伝播演算子F _{t , sは}t ≥ sのときに定義され、伝播恒等式を満たす。

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x)}$いずれの場合も。${\displaystyle u\geq t\geq s}$

同次ケースでは、伝播関数はハミルトニアンの指数関数です。

シュレーディンガー描像では、ハミルトニアン演算子は量子状態の時間発展を生成する。 が時刻 におけるシステムの状態である場合、 ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

これはシュレーディンガー方程式である。ある初期時刻（ ）における状態が与えられ、が時間に依存しない場合、ユニタリ時間発展演算子は次式に示すように 指数演算子となる。${\displaystyle t=0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t)\left|\psi (0)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

• 時間の矢
• 時間変換対称性
• ハミルトン系
• プロパゲーター
• 時間発展演算子
• ハミルトニアン（制御理論）

• アマン、H.アーレント、W.ノイブランダー、F.ニケーズ、S. von Below、J. (2008)、アマン、ハーバート;アーレント、ヴォルフガング。ヒーバー、マティアス;ノイブランダー、フランク M;ニケーズ、セルジュ。 von Below、Joachim (編)、Functional Analysis and Evolution Equations: The Günter Lumer Volume、バーゼル: Birkhäuser、doi :10.1007/978-3-7643-7794-6、ISBN 978-3-7643-7793-9、MR  2402015。
• ジェローム、JW; ポリッツィ、E. (2014)、「時間依存量子システムの離散化：進化演算子のリアルタイム伝播」、適用可能分析、93 (12): 2574–2597、arXiv : 1309.3587、doi :10.1080/00036811.2013.878863、S2CID  17905545。
• Lanford, OE (1975)、「大規模古典システムの時間発展」、Moser J. (編)、動的システム、理論と応用、物理学講義ノート、第 38 巻、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、pp. 1–111、doi :10.1007/3-540-07171-7_1、ISBN 978-3-540-37505-0。
• Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975)、「調和系の時間発展とエルゴード特性」、Moser J. (編)、動的システム、理論と応用、物理学講義ノート、第 38 巻、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、pp. 144–177、doi :10.1007/3-540-07171-7_3、ISBN 978-3-540-37505-0。

• ルマー、ギュンター(1994)、「進化方程式。一般化解と一般化初期値による不規則進化問題の解。周期的ショックモデルへの応用」、サラヴィア大学紀要、数学シリーズ、5 (1)、MR  1286099。