パイロット波理論

理論物理学において、パイロット波理論（ボーミアン力学としても知られる）は、 1927年にルイ・ド・ブロイによって発表された隠れた変数理論の最初の例として知られている。そのより現代的なバージョンであるド・ブロイ・ボーム理論は、量子力学を決定論的な理論として解釈し、本質的に非局所的であることによって、波動と粒子の二重性、瞬間的な波動関数の崩壊、シュレーディンガーの猫のパラドックスなどの問題を回避している。

ド・ブロイ・ボームのパイロット波理論は、（非相対論的）量子力学のいくつかの解釈のうちの 1 つです。

ルイ・ド・ブロイのパイロット波理論に関する初期の結果は、波が静止している原子軌道の文脈で、彼の論文（1924年）で発表されました。これらの誘導波のダイナミクスの一般的な定式化を相対論的波動方程式で展開する初期の試みは、1926年にシュレーディンガーが非相対論的波動方程式を開発するまで成功しませんでした。彼はさらに、この方程式は配置空間内の波を記述するため、粒子モデルは放棄されるべきであると示唆しました。^[4]その後まもなく、^[5] マックス・ボルンは、シュレーディンガーの波動方程式の波動関数は粒子を発見する確率密度を表すと示唆しました。これらの結果を受けて、ド・ブロイはパイロット波理論の力学方程式を発展させました。^[6]当初、ド・ブロイは二重解アプローチを提案しました。これは、量子オブジェクトが実空間内の物理波（u波）で構成され、球状の特異領域が粒子のような動作を引き起こすというものです。この理論の初期段階では、量子粒子の存在を仮定する必要はなかった。^[7]彼は後に、粒子がパイロット波を伴う理論としてそれを定式化した。

ド・ブロイは、1927年のソルベー会議でパイロット波理論を発表しました。^[8]しかし、ヴォルフガング・パウリは、この理論が非弾性散乱の場合を適切に扱っていないと会議で異議を唱えました。ド・ブロイはこの異議に対する回答を見つけることができず、パイロット波アプローチを放棄しました。数年後のデイヴィッド・ボームとは異なり、ド・ブロイは多粒子の場合を網羅する理論を完成させませんでした。^[7]多粒子の場合は、非弾性散乱におけるエネルギー散逸が、隠れた変数の理論のまだ知られていないメカニズムによって周囲の場の構造に分配できることを数学的に示しています。^{[説明が必要]}

1932年、ジョン・フォン・ノイマンは本を出版したが^[9]、その一部では隠れた変数理論はすべて不可能であることを証明したと主張していた。この結果は3年後にグレーテ・ヘルマン^{[10] [11]}によって欠陥があることが判明したが、さまざまな理由から、このことは50年以上物理学界に気づかれなかった。

1952年、当時の正統派の理論に満足しなかったデイヴィッド・ボームは、ド・ブロイのパイロット波理論を再発見した。ボームはパイロット波理論を発展させ、現在ではド・ブロイ・ボーム理論と呼ばれている理論を​​生み出した。^{[12] [13]ド・ブロイ・ボーム理論自体は、}ジョン・ベルが支持し、またそれに対する反論も行わなかったら、ほとんどの物理学者に気づかれなかったかもしれない。1987年、ジョン・ベルはグレーテ・ヘルマンの研究を再発見し、^{[14]パウリとフォン・ノイマンの反論はパイロット波理論に}局所性がないことを示しているに過ぎないことを物理学界に示した。

パイロット波理論は隠れた変数理論です。したがって、

• 理論には現実性がある（つまり、その概念は観察者から独立して存在する）
• この理論には決定論がある。

粒子の位置は隠れた変数であると考えられています。観測者はこれらの変数の正確な値を知りません。測定によって変数が乱されるため、正確に知ることはできません。一方、観測者は自身の原子の波動関数ではなく、原子の位置によって定義されます。そのため、自分の周囲に見えるものも近くにあるものの位置であり、それらの波動関数ではありません。

粒子の集合は、シュレーディンガー方程式に従って発展する物質波を持ちます。各粒子は波動関数によって導かれる決定論的な軌道をたどります。全体として、粒子の密度は波動関数の大きさに従います。波動関数は粒子の影響を受けず、空の波動関数としても存在できます。^[16]

この理論は量子力学の非相対論的定式化に暗黙的に含まれる非局所性を明らかにし、それを利用してベルの定理を満たす。これらの非局所効果は非通信定理と両立することが示されており、光速を超える通信には使用できないため、相対性理論と経験的に両立する。^[17]

Couder、Fortらは、振動する流体槽上の巨視的な油滴はパイロット波の類似モデルとして使用できると主張した[ 18 ^{] 。局所的な油滴は、その周囲に周期的な波動場を作り出す。彼らは、油滴と自身の波動場との間の共鳴相互作用が量子粒子に類似した挙動を示すと提案した。すなわち、二重スリット実験における干渉[19]} 、予測不可能なトンネル効果^[20]（実質的に隠れた場の状態に複雑に依存する）、軌道量子化^[21]（粒子は、自らが作り出した場の摂動と「共鳴」しなければならない。つまり、1周すると、粒子の内部位相は初期状態に戻らなければならない）、ゼーマン効果^[22]である。これらの実験を再現する試み^{[23] [24]}により、観測された流体力学的パターンは、パイロット波の回折や干渉ではなく、壁と油滴の相互作用によるものである可能性が示され、これは量子粒子が示すスリット誘起干渉パターンとは異なる。^[25]

電子のド・ブロイ・ボーム誘導波を導くには、量子ラグランジアン

${\displaystyle L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),}$

ここで、は位置エネルギー、は速度、は量子力（波動関数によって押される粒子）に関連する位置であり、正確に 1 つのパス（電子が実際にたどるパス）に沿って積分されます。これにより、ボーム伝播関数の次の式が得られます^{[引用が必要]} : ${\displaystyle V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].}$

このプロパゲータを使用すると、量子ポテンシャルの影響下で電子を時間の経過とともに正確に追跡できます。 ${\displaystyle Q}$

パイロット波理論は、ラグランジアンやハミルトン力学ではなく、ハミルトン・ヤコビ力学^[26]に基づいています。ハミルトン・ヤコビ方程式

${\displaystyle H\left(\,{\vec {x}}\,,\;{\vec {\nabla }}_{\!x}\,S\,,\;t\,\right)+{\partial S \over \partial t}\left(\,{\vec {x}},\,t\,\right)=0}$

シュレーディンガー方程式を導くことが可能である：

位置が確実にはわかっていない古典粒子を考えてみましょう。統計的に扱う必要があるため、確率密度のみがわかります。確率は保存されなければなりません。つまり、各 に対してです。したがって、連続方程式を満たしている必要があります。 ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}$${\displaystyle \int \rho \,\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}=1}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\,\partial \rho \,}{\partial t}}=-{\vec {\nabla }}\cdot (\rho \,{\vec {v}})\qquad \qquad (1)}$

ここで粒子の速度です。 ${\displaystyle \,{\vec {v}}({\vec {x}},t)\,}$

古典力学のハミルトン・ヤコビ定式化では、速度は次のように表される。ここで、はハミルトン・ヤコビ方程式の解である。 ${\displaystyle \;{\vec {v}}({\vec {x}},t)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}_{\!x}S({\vec {x}},\,t)\;}$${\displaystyle \,S({\vec {x}},t)\,}$

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,\nabla S\,\right|^{2}\,}{2m}}+{\tilde {V}}\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle \,(1)\,}$複素関数を導入することで、1つの複素方程式にまとめることができ、2つの方程式は次の式と等しくなります。 ${\displaystyle \,(2)\,}$${\displaystyle \;\psi ={\sqrt {\rho \,}}\,e^{\frac {\,i\,S\,}{\hbar }}\;,}$

${\displaystyle i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\tilde {V}}-Q\right)\psi \quad }$

と

${\displaystyle \;Q=-{\frac {\;\hbar ^{2}\,}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.}$

時間依存のシュレーディンガー方程式は、通常のポテンシャルに追加の量子ポテンシャルを加えることで得られます。量子ポテンシャルは量子力のポテンシャルであり、波動関数の振幅の曲率に（近似的に）比例します。 ${\displaystyle \;{\tilde {V}}=V+Q\;,}$ ${\displaystyle Q}$

このポテンシャルは、シュレーディンガー方程式の古典的な類似物で あるマーデルング方程式に現れるものと同じであることに留意してください。

ド・ブロイの物質波は時間依存のシュレーディンガー方程式によって記述されます。

${\displaystyle i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

複素波動関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)~}$

これをシュレーディンガー方程式に代入すると、実変数に対する2つの新しい方程式を導くことができる。1つ目は確率密度の連続方程式である ^[12]${\displaystyle \,\rho \,:}$

${\displaystyle {\frac {\,\partial \rho \,}{\,\partial t\,}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho \,{\vec {v}}\right)=0~,}$

ここで速度場は「誘導方程式」によって決定される。

${\displaystyle {\vec {v}}\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}S\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)~.}$

パイロット波理論によれば、点粒子と物質波は両方とも実在し、異なる物理的実体です (物理的な粒子や波の実体は仮定せず、観測される波と粒子の二重性のみを仮定する標準的な量子力学とは異なります)。パイロット波は、誘導方程式で説明されているように、点粒子の動きを誘導します。

通常の量子力学とパイロット波理論は、同じ偏微分方程式に基づいています。主な違いは、通常の量子力学では、シュレーディンガー方程式が、粒子の位置の確率密度が次のように与えられるというボルン公理によって現実と結び付けられていることです。パイロット波理論では、誘導方程式を基本法則と見なし、ボルン則を派生概念と見なします。 ${\displaystyle \;\rho =|\psi |^{2}~.}$

2番目の方程式は、作用Sに対する修正ハミルトン・ヤコビ方程式である。

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,{\vec {\nabla }}S\,\right|^{2}\,}{\,2m\,}}+V+Q~,}$

ここでQは量子ポテンシャルで あり、

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.}$

Q を無視すると、方程式は古典的な点粒子のハミルトン・ヤコビ方程式に簡約されます。^[a]つまり、量子ポテンシャルは量子力学のすべての不思議な効果の原因です。

修正ハミルトン・ヤコビ方程式と誘導方程式を組み合わせて準ニュートン運動方程式を導くこともできる。

${\displaystyle m\,{\frac {d}{dt}}\,{\vec {v}}=-{\vec {\nabla }}(V+Q)~,}$

ここで流体力学的時間微分は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\,\partial t\,}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}~.}$

多体波動関数のシュレーディンガー方程式は次のように表される。 ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdots ,t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\right)\psi }$

複素波動関数は次のように表すことができます。

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)}$

パイロット波は粒子の動きを誘導します。j 番目の粒子の誘導方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {\vec {v}}_{j}={\frac {\nabla _{j}S}{m_{j}}}\;.}$

j 番目の粒子の速度は、他の粒子の位置に明示的に依存します。これは、理論が非局所的であることを意味します。

スピンを考慮した相対論的ケースへの拡張は1990年代から開発されてきた。^{[27] [28] [29] [30] [31] [32]}

ルシアン・ハーディ^[33]とジョン・スチュワート・ベル^[16]は、量子力学のド・ブロイ・ボーム図には、空間と時間内を伝播するがエネルギーや運動量を運ばない波動関数によって表され、粒子と関連しない空の波が存在する可能性があることを強調した^{[34 ]。同じ概念は、}アルバート・アインシュタインによってゴースト波（または「幽霊場」、ゴースト場）と呼ばれました。^[34]空の波動関数の概念は、議論を呼んでいます。^{[35] [36] [37]}対照的に、量子力学の多世界解釈では、空の波動関数は必要とされません。 ^[16]

• 流体力学的量子類似体
• 量子ポテンシャル

• 「パイロット波、ボーミアン形而上学、量子力学の基礎」Wayback Machineに 2016 年 4 月 10 日にアーカイブ、マイク・タウラーによるパイロット波理論の講義コース、ケンブリッジ大学 (2009 年)。
• スタンフォード哲学百科事典2021年秋号に掲載されたシェルドン・ゴールドスタインの「ボーミアン力学」の項目
• クラウス・フォン・ブローのボーミアン力学のデモンストレーション: Wolfram Demonstrations Project