オープンフォーミュラ

オープン式とは、少なくとも１つの自由変数を含む式のことである。^{[ 1 ]}

開いた式には真偽値が割り当てられません。一方、閉じた式は命題を構成し、真または偽といった真偽値を持つことができます。開いた式は、各自由変数に量化子を適用することで閉じた式に変換できます。この変換は、自由変数を束縛変数にするための「自由変数の捕捉」と呼ばれます。

例えば、自然数について推論する場合、式「x + 2 > y」は自由変数xとyを含むため、開式です。一方、式「∃ y ∀ x : x + 2 > y」は閉式であり、真偽値は真です。

オープン式は、次のような特性の厳密な数学的定義によく使用されます。

「xがyの叔母であるのは、ある人物zにとって、zがyの親であり、かつxがzの姉妹である場合である。」

（自由変数x、y、および束縛変数zを用いて）「叔母」の概念を「親」と「姉妹」の観点から定義する。素数であるという性質を定義する、より形式的な別の例は次のとおりである。

P ( x ) ∀m , n∈​​${\displaystyle \mathbb {N} }$: m >1 ∧ n >1 → x ≠ m ⋅ n ",

（自由変数xと束縛変数m、n を含む）。

真偽値が偽である閉じた式の例として、フェルマー数列が挙げられる。

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

フェルマーは素数性に関連してこれを研究した。フェルマー数列の各数に述語文字 P (素数である) を付加すると、閉じた式の集合が得られる。これらの式はn = 0,...,4 に対しては真であるが、 2023 年現在、これより大きいnの値で真となる式は知られていない。; 例えば、${\displaystyle F_{5}=4\,294\,967\,297=641\cdot 6\,700\,417}$は素数ではない。したがって、閉じた式 ∀ n P ( F _n ) は偽である。

データベース理論において、クエリをオープンな一階述語論理式として表現する場合、自由変数はSQLクエリのSELECT句に現れる変数を表します。例えば、次のような式です。

${\displaystyle \varphi (son)=birthYear(son,2020)\land \exists mom{\textbf {.}}(motherOf(mom,son)\land birthYear(mom,1999))}$

どこ${\displaystyle 息子}$は唯一の自由変数であり、SQLでは次のように表現できます。

SELECT y1.person AS son FROM birth_year y1 WHERE y1.year = 2020 AND EXISTS ( SELECT * FROM mother_of m1 JOIN birth_year y2 ON m1.mother = y2.person WHERE m1.son = y1.person AND y2.year = 1999 )​​​​​​​​​​​​​​

これは、2020年に生まれ、母親が1999年生まれの人をすべて選択するものです。

正式には、上記の SQL クエリをデータベースに対して実行することは、すべての置換を探すことと同等です。${\displaystyle \sigma }$自由変数の${\displaystyle \varphi }$定数によって、Herbrand の解釈は${\displaystyle {\mathcal {D}}}$満たす${\displaystyle \sigma (\varphi )}$、 どこ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$これは、データベースを表す基底原子の集合です。

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• 論理学用語集

• Wolfgang Rautenberg (2008)、Einführung in die Mathematische Logik (ドイツ語) (3 版)、ヴィースバーデン: Vieweg+Teubner、ISBN 978-3-8348-0578-2
• H.-P. Tuschik、H. Wolter (2002)、Mathematische Logik – kurzgefaßt (ドイツ語)、Heidelberg: Spektrum、Akad。フェルラーグ、ISBN 3-8274-1387-7