数量詞のランク

させて${\displaystyle \varphi }$1階述語論理式である。量化子のランクは${\displaystyle \varphi }$書かれた${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi )}$は次のように定義されます。

• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi )=0}$、 もし${\displaystyle \varphi }$原子である。
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi _{1}\land \varphi _{2})=\operatorname {qr} (\varphi _{1}\lor \varphi _{2})=\max(\operatorname {qr} (\varphi _{1}),\operatorname {qr} (\varphi _{2}))}$。
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\lnot \varphi )=\operatorname {qr} (\varphi )}$。
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\exists _{x}\varphi )=\operatorname {qr} (\varphi )+1}$。
• ${\displaystyle \operatorname {qr} (\forall _{x}\varphi )=\operatorname {qr} (\varphi )+1}$。

備考

• 私たちは書く${\displaystyle \operatorname {FO} [n]}$すべての一次式の集合に対して${\displaystyle \varphi }$と${\displaystyle \operatorname {qr} (\varphi )\leq n}$。
• リレーショナル${\displaystyle \operatorname {FO} [n]}$（関数記号を除く）は常に有限サイズであり、つまり有限個の数式を含みます。
• 前置正規形では、量化子ランクは${\displaystyle \varphi }$は、に現れる数量詞の数と全く同じです。${\displaystyle \varphi }$。

固定小数点論理の場合、最小固定小数点演算子を使用する。${\displaystyle \operatorname {LFP} }$:${\displaystyle \operatorname {qr} ([\operatorname {LFP} _{\phi }]y)=1+\operatorname {qr} (\phi )}$。