一般化量化子

一階述語論理には、2つの量化子があります。${\displaystyle \forall ,\exists }$それらは、一階述語論理のモデル理論的意味論（すなわち集合論的意味論）において、以下のように固定された意味を持つ。

一階述語論理が与えられた場合、モデル$\displaystyle {\mathcal {M}}}$言語の解釈${\displaystyle I}$変数の 1 つを、${\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi }$「定量化された公式」を意味する${\displaystyle \forall x\psi }$モデルによってモデル化される$\displaystyle {\mathcal {M}}}$解釈と共に${\displaystyle I}$定義上、$$\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi \iff \forall a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi }$$どこ${\displaystyle M}$モデルの宇宙は$\displaystyle {\mathcal {M}}}$。

同様に、$$\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi \iff \exists a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi }$$これは集合論的記法で次のように書くことができる。$$\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{M\}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}\end{aligned}}}$$どこ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$は冪集合演算を表します。

これはやや循環論的に見えるかもしれない。なぜなら、集合論は通常、一階述語論理（ZFC集合論のように）で形式化されるからである。しかし、そのような集合論を基盤として採用すれば、その基盤となる集合論の上に他の一階述語論理を構築することができる。これはモデル理論において一般的に採用される考え方である。

次に、${\displaystyle \forall ,\exists }$それ自体がモデル化されている記号として扱われます。これは、等号自体が一階述語論理における二項関係記号として解釈されるのと似ています。そして、再び次のように書き直します。$$\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \forall ^{\mathcal {M}}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \exists ^{\mathcal {M}}\end{aligned}}}$$どこ${\displaystyle \forall ^{\mathcal {M}}:=\{M\}}$シンボルのモデルです${\displaystyle \forall }$モデルでは$\displaystyle {\mathcal {M}}}$、 そして${\displaystyle \exists ^{\mathcal {M}}:=\{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}}$シンボルのモデルです${\displaystyle \exists }$モデルでは$\displaystyle {\mathcal {M}}}$。

したがって、一般化量化子のモデルを次のように定義できます。一般化量化子で拡張された一階述語論理が与えられた場合、${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\dots }$モデル$\displaystyle {\mathcal {M}}}$それぞれの言語モデル${\displaystyle Q_{n}}$セットとして${\displaystyle Q_{n}^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M)}$、したがって$$\displaystyle {\mathcal {M}}\models _{I}Q_{n}x\psi \iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in Q_{n}^{\mathcal {M}}}$$より一般的には、量化子${\displaystyle Q}$k 個の変数を定量化できる。その場合、そのモデルは集合である。${\displaystyle Q^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M^{k})}$このような量化子の型は${\displaystyle \langle k\rangle }$。

同様に、${\displaystyle M^{k}}$k項の関係として考えることができる${\displaystyle M}$k 変数に対する量化子は、 k項関係の述語とみなすことができる。${\displaystyle M}$。

より一般的には、量化子${\displaystyle Q}$以下のように使用されます。$${\displaystyle Qx_{1,1},\dots ,x_{1,m_{1}};x_{2,1},\dots ,x_{2,m_{2}};\dots ;x_{n,1},\dots ,x_{n,m_{n}}(\psi _{1},\dots ,\psi _{n})}$$これは、 n項の関係によってモデル化されます。${\displaystyle m_{1}}$-項関係、${\displaystyle m_{2}}$-項関係、...、${\displaystyle m_{n}}$- 関係${\displaystyle M}$この一般的な定義、つまり一般化された量化子定義は、リンドストローム量化子と呼ばれることもあります。

このような量化子はシグネチャを持つと言われます。${\displaystyle \langle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}\rangle }$署名が形式である場合${\displaystyle \langle 1,1,\dots ,1\rangle }$ならばそれは単項式であり、そうでなければそれは多項式である。

タイプ⟨1⟩:

• $\displaystyle \exists _{=1}}$「ちょうど1つ存在する」という意味は、次のように定義されます。${\displaystyle \exists _{=1}^{\mathcal {M}}:=\{\{a\}:a\in M\}}$
• さらに一般的に定義すると${\displaystyle \exists _{=2},\exists _{=3},\dots }$による${\displaystyle \exists _{=2}^{\mathcal {M}}:=\{\{a,b\}:a\in M,b\in M,a\neq b\}}$など
• $\displaystyle \exists _{\leq n}}$「最大でn 個存在する」という意味は、次のように定義されます。${\displaystyle \exists _{\leq n}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|\leq n\}}$。
• ${\displaystyle \exists _{\geq \omega }}$「無限に存在する」という意味は、次のように定義されます。${\displaystyle \exists _{\geq \omega }^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,S{\text{ is infinite}}\}}$。
• 「たいていの場合」を意味するレッシャー量化子は、次のように定義される。${\displaystyle Q_{R}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|>|M\setminus S|\}}$。

タイプ⟨2⟩:

• ${\displaystyle W}$「整列である」という意味は、次のように定義されます。${\displaystyle W^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M\times M,S{\text{ is a well-ordering of }}M\}}$。 例えば、${\displaystyle Wxy,x<y}$手段 "${\displaystyle <}$整列である」。モデルが与えられた場合${\displaystyle {\mathcal {M}}}$の${\displaystyle Wxy,x<y}$構造${\displaystyle (M,<^{\mathcal {M}})}$は整列した半順序集合である。注目すべきは、整列性は標準的な一階述語論理では公理化できない点であり、これは我々が論理言語の力を拡張したことを示している。

• ラムゼイ量化子${\displaystyle Q^{2}}$定義される${\displaystyle S\in (Q^{2})^{\mathcal {M}}}$無限が存在する場合${\displaystyle A\subset M}$、したがって${\displaystyle \forall x\neq y\in A,(x,y)\in S}$例えば、無限ラムゼー定理は、無限集合がある場合、${\displaystyle M}$任意の2点間に辺を描き、各辺を有限個の色のいずれかで着色すると、同じ色の無限クリークが存在する。${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{m}}$2項関係であり、${\displaystyle C_{i}(x,y)}$手段${\displaystyle x\neq y}$そして端${\displaystyle (x,y)}$i番目の色で着色されている。すると無限ラムゼー定理によれば、${\displaystyle \bigvee _{i=1}^{m}Q^{2}(C_{i})}$。

⟨n⟩型:

• ラムゼイ量化子${\displaystyle Q^{n}}$定義される${\displaystyle S\in (Q^{n})^{\mathcal {M}}}$無限が存在する場合${\displaystyle A\subset M}$任意のサイズn の部分集合${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\subset A}$、 我々は持っています${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})\in S}$無限ラムゼー定理は次のように述べることができる。${\displaystyle Q^{n}}$[ ^{3 ]​}

タイプ⟨1, 1⟩:

• 「すべて」は次のように定義されます。${\displaystyle {\text{All}}^{\mathcal {M}}:=\{(A,B):A\subset B,B\subset M\}}$例えば、「すべての人間は死ぬ」は次のように書かれます。${\displaystyle {\text{All }}x,y,({\text{man}}(x),{\text{mortal}}(y))}$同様に、「いくつか」、「どれもではない」、「すべてではない」は⟨1, 1⟩型です。このようにして、項論理における4種類の文は、一般化量化子を用いた一階述語論理で自然に表現されます。
• 同様に、「少なくとも 5」、「ちょうど 3」、「偶数」、「～より多い」など。
• Härtig 量詞は「等しい数」を意味する。^{[ 4 ]}

量化子は、量化子に対する演算を用いて組み合わせたり変更したりすることで、より多くの量化子を作成できます。

相対化：n項関係${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle M}$部分集合に相対化できる${\displaystyle N\subset M}$定義することによって${\displaystyle R\upharpoonright N:=R\cap N^{n}}$。 言い換えると、$${\displaystyle \forall a_{1},\dots ,a_{n}\in N,R\upharpoonright N(a_{1},\dots ,a_{n})\iff R(a_{1},\dots ,a_{n})}$$この操作を使用すると、量指定子${\displaystyle Q}$タイプの${\displaystyle \langle m_{1},\dots ,m_{n}\rangle }$量化子に相対化できる${\displaystyle Q_{\text{rel}}}$タイプの${\displaystyle \langle 1,m_{1},\dots ,m_{n}\rangle }$最初のスロットを、相対化する対象となる集合とすることで、次のようになります。$${\displaystyle Q_{\text{rel}}^{\mathcal {M}}(N,R_{1},\dots ,R_{n}):=Q^{\mathcal {M}}(R_{1}\upharpoonright N,\dots ,R_{n}\upharpoonright N)}$$反復：2つの⟨1⟩量化子が与えられた場合${\displaystyle Q,Q'}$⟨2⟩ 量化子があります${\displaystyle Q\cdot Q'}$これは、構成を一般化することによって得られる。${\displaystyle \forall ,\exists }$具体的には、二項関係が与えられた場合${\displaystyle R}$文${\displaystyle \forall x\exists y,R(x,y)}$分析すると${\displaystyle (\forall \cdot \exists )xy,R(x,y)}$、 どこ${\displaystyle \forall \cdot \exists }$は、反復によって得られる⟨2⟩量化子です。${\displaystyle \forall }$に${\displaystyle \exists }$。

モデル${\displaystyle {\mathcal {M}}}$モデル${\displaystyle \forall x\exists y,R(x,y)}$もし${\displaystyle \forall ^{\mathcal {M}}(\{a\in M:\exists ^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})}$、 どこ${\displaystyle R^{\mathcal {M}}(a,\cdot )}$は 1 項関係です${\displaystyle M}$プラグインによって取得${\displaystyle a\in M}$2項関係の最初のスロットへ${\displaystyle R}$の上${\displaystyle M}$。

一般化すると、2つの量化子が与えられた場合${\displaystyle Q,Q'}$型⟨1⟩、⟨1⟩の場合、型⟨2⟩の量指定子に反復します。$${\displaystyle (Q\cdot Q')^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}):=Q^{\mathcal {M}}(\{a\in M:Q'^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})}$$与えられた${\displaystyle Q_{1},\dots ,Q_{n}}$型の量化子${\displaystyle \langle m_{1}\rangle ,\dots ,\langle m_{n}\rangle }$反復して${\displaystyle Q_{1}\cdot \dots \cdot Q_{n}}$、${\displaystyle \langle m_{1}+\dots +m_{n}\rangle }$量化子。

再開: 量化子が与えられた場合${\displaystyle Q}$タイプの${\displaystyle \langle 1,\dots ,1\rangle }$量化子に要約できる${\displaystyle \operatorname {Res} _{k}(Q)}$タイプの${\displaystyle \langle k,\dots ,k\rangle }$k項関係という事実を利用して${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle M}$は 1 項関係と同じです${\displaystyle M^{k}}$:$${\displaystyle \operatorname {Res} _{k}(Q)^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})\iff Q^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})}$$形式的には同じですが、型が異なります。1つは、それを確認するには、の再開を考えてみましょう。${\displaystyle \exists }$式${\displaystyle \exists x,{\text{first}}(x)={\text{second}}(x)}$は、「第一」と「第二」が定義されているモデル、特に宇宙が の形式であるモデル上で解釈される式である。${\displaystyle M\times M}$、 一方${\displaystyle \operatorname {Res} _{2}(\exists )x_{1}x_{2},x_{1}=x_{2}}$これは、単純なモデル上で解釈される数式です。

限定詞Dが保守的であるとは、以下の同値関係が成り立つ場合 をいう。$${\displaystyle D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)}$$ 例えば、以下の2つの文は同等です。

1. 男の子はみんな眠る。
2. 眠る少年は皆、少年である。

すべての自然言語におけるすべての限定詞は保守的であると提唱されている。^{[ 2 ]} only という表現は保守的ではない。次の 2 つの文は同等ではない。しかし実際には、 only を限定詞として分析することは一般的ではない。むしろ、通常は焦点に依存する副詞として扱われる。

1. 男の子だけが眠る。
2. 眠るのは男の子だけだ。