分岐量指定子

論理学において、分岐量化子^{[ 1 ]}はヘンキン量化子、有限部分順序量化子、あるいは非線形量化子とも呼ばれ、部分順序^{[ 2 ]である。}

${\displaystyle \langle Qx_{1}\dots Qx_{n}\rangle }$

Q ∈ {∀,∃}の量化子の集合。これは一般化量化子の特殊なケースです。 古典論理では、量化子の接頭辞は線形に順序付けられており、量化子Q _mによって束縛される変数y _mの値は、変数の値に依存します。  

y ₁ , ..., y _{m −1}

量化子によって束縛される

Qy ₁、 ...、Qy _{m −1}

Q _mに先行する。 (有限) 部分順序量化を持つ論理では、一般にはそうではない。

分岐量化は、1959 年のLeon Henkinの会議論文で初めて登場しました。^{[ 3 ]}部分順序量化システムは、強度において一階述語論理と二階述語論理の中間に位置します。これらはHintikkaと Gabriel Sandu の独立性に配慮した論理の基礎として使用されています。

最も単純なヘンキン量化子${\displaystyle Q_{H}}$は

${\displaystyle (Q_{H}x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\equiv {\begin{pmatrix}\forall x_{1}\,\exists y_{1}\\\forall x_{2}\,\exists y_{2}\end{pmatrix}}\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}).}$

それは（実際にはヘンキン接頭辞を持つすべての式、最も単純な式だけでなく）その2次スコレム化と等価である。

${\displaystyle \exists f\,\exists g\,\forall x_{1}\forall x_{2}\,\varphi (x_{1},x_{2},f(x_{1}),g(x_{2})).}$

また、量化子を定義するのに十分な力も持っている。${\displaystyle Q_{\geq \mathbb {N} }}$（つまり「無限に存在する」）と定義される

${\displaystyle (Q_{\geq \mathbb {N} }x)\varphi (x)\equiv (\exists a)(Q_{H}x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})[\varphi (a)\land (x_{1}=x_{2}\leftrightarrow y_{1}=y_{2})\land (\varphi (x_{1})\rightarrow (\varphi (y_{1})\land y_{1}\neq a))].}$

これからいくつかのことが導き出されるが、その中には一階述語論理の非公理化可能性も含まれる。${\displaystyle Q_{H}}$（エーレンフォイヒトによって最初に観察された）と、${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$-二階述語論理の断片（存在二階述語論理）—後者の結果は、1970 年にHerbert Enderton ^{[ 4 ]}と W. Walkoe ^{[ 5 ]によって独立して発表された。}

以下の量化子も定義可能です。${\displaystyle Q_{H}}$[ ^{2 ]​}

• レシャー：「 φの数はψの数以下である」

${\displaystyle (Q_{L}x)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname {Card} (\{x\colon \varphi x\})\leq \operatorname {Card} (\{x\colon \psi x\})\equiv (Q_{H}x_{1}x_{2}y_{1}y_{2})[(x_{1}=x_{2}\leftrightarrow y_{1}=y_{2})\land (\varphi x_{1}\rightarrow \psi y_{1})]}$

• ハーティヒ：「φ の数とψ の数は同数である」

${\displaystyle (Q_{I}x)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_{L}x)(\varphi x,\psi x)\land (Q_{L}x)(\psi x,\varphi x)}$

• チャン氏：「 φの数は、モデルの定義域の数と等しい」

${\displaystyle (Q_{C}x)(\varphi x)\equiv (Q_{L}x)(x=x,\varphi x)}$

ヘンキン量化子${\displaystyle Q_{H}}$それ自体はタイプ（4）リンドストローム量化子として表現できる。^{[ 2 ]}

ヒンティッカは1973年の論文^{[ 6 ]}で、自然言語のいくつかの文は分岐量化子の観点から理解するのが最適であるという仮説を提唱した。例えば、「各村人の親戚と各町人の親戚が互いに憎み合っている」は、ヒンティッカによれば次のように解釈されるべきである。^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\forall x_{1}\,\exists y_{1}\\\forall x_{2}\,\exists y_{2}\end{pmatrix}}[(V(x_{1})\wedge T(x_{2}))\rightarrow (R(x_{1},y_{1})\wedge R(x_{2},y_{2})\wedge H(y_{1},y_{2})\wedge H(y_{2},y_{1}))].}$

これは一階述語論理では同等のものが存在しないことが知られている。^{[ 7 ]}

分岐の概念は、古典的な量化子を葉として使用することに必ずしも限定されるわけではありません。1979年の論文^{[ 9 ]}で、ジョン・バーワイズは、ヒンティッカ文（上記は時としてこのように呼ばれる）の変形を提案しました。その変形では、内部の量化子自体が一般化された量化子です。例えば、「ほとんどの村人とほとんどの町人は互いに憎み合っている。」^{[ 7 ]。}${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}}$否定に関して閉じられていないため、Barwise は自然言語の文が実際に分岐量化子を含むかどうかを判断するための実用的なテストも提案しました。具体的には、自然言語の否定が集合変数に対する全称量化を含むかどうかをテストします (a${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$文）。^{[ 10 ]}

ヒンティッカの提案は、多くの論理学者から懐疑的に受け止められた。なぜなら、以下に示すような一階述語論理の文が、自然言語のヒンティッカの文を十分に捉えているように見えるからである。

${\displaystyle [\forall x_{1}\,\exists y_{1}\,\forall x_{2}\,\exists y_{2}\,\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})]\wedge [\forall x_{2}\,\exists y_{2}\,\forall x_{1}\,\exists y_{1}\,\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})]}$

どこ

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})}$

意味する

${\displaystyle (V(x_{1})\wedge T(x_{2}))\rightarrow (R(x_{1},y_{1})\wedge R(x_{2},y_{2})\wedge H(y_{1},y_{2})\wedge H(y_{2},y_{1}))}$

その後、純粋に理論的な議論が数多く行われたが、論理学の訓練を受けた学生を対象とした実証的なテストで、ヒンティッカ文から派生したいくつかの自然言語構造に対して、分岐量化子文よりも「双方向」の一階述語論理文に一致するモデルを割り当てる可能性が高いことがわかったのは、2009年になってからのことだった。例えば、学生には正方形と円を頂点とする無向二部グラフが示され、「 3つ以上の円と3つ以上の正方形が線で結ばれている」といった文が図を正しく記述しているかどうかを尋ねられた。^{[ 7 ]}

• ゲーム意味論
• 依存関係ロジック
• 独立性を重視したロジック（IFロジック）
• モストフスキー量化子
• リンドストローム量化子
• 非一階順化可能性

• PlanetMathのゲーム理論的定量化担当者。