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数理論理学では、一方の理論の一貫性が他方の理論の一貫性を意味し、その逆も成り立つ場合、2 つの理論は等しく矛盾しません。この場合、大まかに言えば、それらは「互いに矛盾しません」。
一般に、理論Tの絶対的な一貫性を証明することはできません。その代わりに、通常は一貫性があると考えられる理論Sを取り上げて、 Sが一貫しているならTも一貫しているに違いないという弱い主張を証明しようとします。これができれば、T はS に対して一貫していると言えます。SがTに対しても一貫している場合は、 SとTは等しく一貫していると言えます。
一貫性
数理論理学では、形式理論は数学的対象として研究されます。いくつかの理論はさまざまな数学的対象をモデル化できるほど強力であるため、それらの理論自体の一貫性について疑問に思うのは当然です。
ヒルベルトは20 世紀初頭に、数学的手法を用いて数学の無矛盾性を示すことを最終目標とするプログラムを提案しました。数学の分野のほとんどは算術に還元できるため、このプログラムはすぐに算術自体の中で形式化可能な方法によって算術の無矛盾性を確立することになりました。
ゲーデルの不完全性定理は、ヒルベルトのプログラムが実現できないことを示している。つまり、矛盾のない計算可能列挙理論が、自身のメタ数学を形式化できるほど強力である場合（何かが証明であるかどうかに関係なく）、つまり算術の弱い断片（ロビンソン算術で十分）をモデル化できるほど強力である場合、理論は自身の一貫性を証明できない。メタ数学的ステートメント「理論は一貫している」を表す形式ステートメントが満たす必要がある要件については技術的な注意事項があるが、結論としては、（十分に強力な）理論が自身の一貫性を証明できる場合、ステートメントが理論の公理であるかどうかを識別する計算可能な方法がないか、理論自体が矛盾している（その場合、自身の一貫性などの誤ったステートメントを含め、何でも証明できる）かのいずれかである。
これを踏まえると、完全な一貫性の代わりに、通常は相対的な一貫性を考慮します。SとTを形式理論とします。S が一貫性のある理論であると仮定します。Tも一貫していることになりますか? そうであれば、Tは S に対して一貫しています。2 つの理論は、それぞれが他方に対して一貫している場合、等しく一貫性があります。
一貫性の強さ
TがSに対して無矛盾であるが、S がTに対して無矛盾であることが知られていない場合、 S はTよりも無矛盾性の強さが高いと言えます。これらの無矛盾性の強さの問題について議論する場合、議論が行われるメタ理論を注意深く扱う必要があります。2階算術レベルの理論については、逆数学プログラムが多くのことを語っています。無矛盾性の強さの問題は、集合論の通常の部分です。これは、数学のほとんどを確実にモデル化できる計算可能な理論だからです。集合論で最も広く使用されている公理の集合はZFCと呼ばれます。集合論的なステートメントAが別のステートメントBと等矛盾であると言われるとき、実際に主張されているのは、メタ理論 (この場合はペアノ算術) では理論 ZFC+ Aと ZFC+ Bが等矛盾であることが証明できるということです。通常、問題のメタ理論として原始再帰演算を採用できますが、メタ理論が ZFC またはその拡張であっても、その概念は意味があります。強制法を使用すると、理論 ZFC、ZFC+CH、ZFC+¬CH がすべて等矛盾であることを示すことができます (ここで、CH は連続体仮説を表します)。
ZFC の断片やその拡張 (たとえば、選択公理のない集合論である ZF、または決定性公理のある集合論である ZF+AD ) について議論する場合、上記の概念はそれに応じて適応されます。したがって、ゲーデルによって示されたように、ZF は ZFC と等価です。
多数の組み合わせステートメントの一貫性の強さは、大きな基数によって調整できます。例:
- クレパの仮説の否定は、到達不可能な基数の存在と等しく矛盾しない。
- 特殊アロンザイン木が存在しないことは、マーロ基数の存在と等しく矛盾しない。
- -アロンザイン木の非存在は、弱コンパクト基数の存在と等価である。[1]
