境界（トポロジー）

位相幾何学および数学一般において、位相空間Xの部分集合Sの境界とは、 Sの閉包内の点のうちSの内部に属さない点の集合のことである。 Sの境界の要素はSの境界点と呼ばれる。境界演算という用語は、集合の境界を求めること、または境界を取ることを指す。集合Sの境界を表す記号には 、およびが含まれる。 ${\displaystyle \operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),}$${\displaystyle \partial S}$

一部の著者（例えばウィラードは『一般位相幾何学』）は、代数位相幾何学や多様体理論で使用されている異なる定義との混同を避けるため、境界ではなく境界という用語を使用している。境界と境界という用語の意味は広く受け入れられているが、これらは他の集合を指すために使用されることもある。例えば、 ETコプソンの『距離空間』では、境界という用語をハウスドルフの境界を指すために使用しており、これは集合とその境界の交差として定義される。^{[1]ハウスドルフは、}剰余という用語も導入しており、これは集合とその補集合の境界の閉包との交差として定義される。^[2]

位相空間の部分集合の境界には、 または が理解されていれば単にで表される、同等の定義がいくつかあります。 ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \partial _{X}S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} _{X}S,}$${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle X}$

1. これはの閉包からにおけるの内部を引いたものである。 ここで はにおけるの閉包を表し、は におけるの位相的内部を表す。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}$$${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$
2. これは、 の閉包とその補集合の閉包の共通部分です。${\displaystyle S}$$${\displaystyle \partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}$$
3. これは、 のすべての近傍に の点が少なくとも 1 つ含まれ、 に含まれない点が少なくとも 1 つ含まれるような点の集合です。${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.}$$

集合の境界点とは、その集合の境界の任意の要素です。上で定義された境界は、境界を持つ多様体の境界やコーナーを持つ多様体の境界など、同様の名前を持つ他の概念と区別するために、集合の位相境界と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \partial _{X}S}$

Sの境界の連結成分はSの境界成分と呼ばれます。

集合の閉包は、集合とその境界の和集合に等しい。 ここで はにおけるの閉包を表す。 集合が閉集合であるとは、その境界を含む場合のみであり、集合が開集合であるとは、その境界と交わらない場合のみである。集合の境界は閉集合である。^[3]これは、の2つの閉集合の交差として表される式から導かれる。${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S}$$${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},}$${\displaystyle \partial _{X}S}$${\displaystyle X.}$

（「三分法」）任意の部分集合が与えられたとき、の各点はとの3つの集合のうちの1つにのみ存在する。 言い換えれば、これら3つの集合は互いに素である。したがって、これらの集合が空でない場合^[注1]、それらはの分割を形成する。${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}$$${\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}$$${\displaystyle X.}$

ある点が集合の境界点となるのは、そのすべての近傍にその集合内の点が少なくとも 1 つ含まれ、集合内にない点が少なくとも 1 つ含まれる場合に限られます。集合の内部の境界と集合の閉包の境界は、どちらもその集合の境界に含まれます。 ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p}$

集合とその補集合は同じ境界を持ちます。 $${\displaystyle \partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).}$$

集合が稠密な開集合であるのは、${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial _{X}U=X\setminus U.}$

閉集合の境界の内部は空です。^{[証明 1]} したがって、集合の閉包の境界の内部は空です。開集合の境界の内部も空です。^{[証明 2]} したがって、集合の内部の境界の内部は空です。特に、が の閉部分集合または開部分集合である場合、で開いているような空でない部分集合は存在しません。この事実は、どこにも稠密でない部分集合、貧弱な部分集合、およびベール空間 の定義と使用にとって重要です。 ${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq \partial _{X}S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X.}$

集合が何らかの開集合の境界となるのは、それが閉じていてどこにも稠密がない場合に限ります。集合の境界が空となるのは、集合が閉じていて開いている場合（つまり、閉開集合）に限ります。

通常の位相（つまり、基底集合が開区間である位相）と有理数の部分集合（その位相的内部が空である） を持つ実数直線を考える。すると、${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}$
• ${\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}$

最後の 2 つの例は、内部が空である稠密集合の境界がその閉包であるという事実を示しています。また、部分集合の境界に の空でない開部分集合が含まれる可能性があること、つまり における の内部が空でない可能性があることも示しています。ただし、閉部分集合の境界には必ず空の内部があります。 ${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle X}$

通常の位相（の部分空間位相）を持つ有理数空間では、 が無理数であるの境界は空です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-\infty ,a),}$${\displaystyle a}$

集合の境界は位相的な概念であり、位相が変わると変化することがあります。たとえば、閉じた円板の境界上の通常の位相が円板を囲む円であるとすると、円板を自身の通常の位相を持つ 内の集合と見なすと、つまり となり、円板の境界は円板そのものです。 円板を自身の位相空間 ( の部分空間位相を持つ) と見なすと、円板の境界は空になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$${\displaystyle \partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$${\displaystyle \partial \Omega =\Omega .}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

この例は、半径 の開球の位相境界が、対応する半径 の球（同じ点を中心とする）と必ずしも等しくないことを示しています。また、半径 の開球の閉包が、半径 の閉球（これも同じ点を中心とする）と必ずしも等しくないことを示しています。上の通常のユークリッド計量を表し、これによって 上に通常のユークリッド位相が誘導されます。が、原点 を中心とする単位円と-軸の和集合を表すとします。つまり、は の位相部分空間であり、その位相は計量 （の制限）によって誘導される位相と等しくなります。 特に、集合および はすべて の閉部分集合であり、したがってその部分空間 の閉部分集合でもあります 。今後は、特に明記しない限り、すべての開球、閉球、球は原点を中心とするものとし、さらに、計量空間のみを考慮し（その超空間 は考慮しない）、これはパス接続され、局所的にパス接続された完全な計量空間とします。 ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle d((a,b),(x,y)):={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y:=\{0\}\times \mathbb {R} }$$${\displaystyle S^{1}:=\left\{p\in \mathbb {R} ^{2}:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$$${\displaystyle \mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X:=Y\cup S^{1},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle d.}$${\displaystyle Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$ ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d)}$

における半径の開球を で 表すと 、 のとき は- 軸 の開部分区間であり、厳密には と の間です。 における単位球(「単位」とは、その半径が であることを意味します) は であり、 における閉単位球は、この同じ点を中心とする開単位球と単位球の和集合です。 ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}}$${\displaystyle r=1}$$${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=1.}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle r=1}$$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$$${\displaystyle (X,d)}$$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).}$$

しかし、開単位球の における位相境界と位相閉包は、 特に、開単位球の位相境界はにおける単位球の適切な部分集合であり 、開単位球の位相閉包はにおける閉単位球の適切な部分集合である。たとえば、 点は に属することができない。これは、 に収束する におけるシーケンスが存在しないからである。同じ推論を一般化して、の閉じた部分区間の外側の点が に属する理由も説明できる。集合 の位相境界は常にの閉包の部分集合であるため、も の部分集合でなければならない。${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1}}$$${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \partial _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}~=~\{0\}\times [-1,1].}$$${\displaystyle \partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}}$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}}$${\displaystyle (X,d).}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}}$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)}$${\displaystyle (X,d).}$${\displaystyle (1,0)\in X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}}$${\displaystyle B_{1}=\{0\}\times (-1,1)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,1]}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}B_{1}.}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle \partial _{X}B_{1}}$${\displaystyle \{0\}\times [-1,1].}$

任意の距離空間において、ある点を中心とする半径 の開球の位相境界は、常にその同じ点を中心とする半径 の球の部分集合です。つまり、 常に成り立ちます。 ${\displaystyle (M,\rho ),}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle c\in M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \partial _{M}\left(\left\{m\in M:\rho (m,c)<r\right\}\right)~\subseteq ~\left\{m\in M:\rho (m,c)=r\right\}}$$

さらに、 の単位球面はの開集合を含む。 ^[証明3]これは、特に の単位球面が の空でない開集合を含むことを示している。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X.}$

がスーパーセットを表す任意の集合に対して、等式が成り立つのは、 の境界に内部点がない場合に限ります。これは、 が閉じているか開いているかのいずれかである場合などに当てはまります。集合の境界は閉じているため、任意の集合に対して 、境界演算子は弱められた種類のべき等性を満たします。 ${\displaystyle S,\partial S\supseteq \partial \partial S,}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}$${\displaystyle S.}$

多様体や単体、およびそれらの単体複合体の境界について議論する際、境界の境界は常に空であるという主張にしばしば遭遇する。実際、特異ホモロジーの構成は、この事実に大きく依存している。この一見矛盾する説明は、位相境界（この記事の主題）が、多様体や単体複合体の境界とは少し異なる概念であるということによる。たとえば、多様体として見た開円板の境界は空であり、その位相境界を自身の部分集合として見た場合は空であるが、実平面の部分集合として見た場合は位相境界が円板を囲む円である。逆に、多様体として見た閉円板の境界は境界円であり、その位相境界を実平面の部分集合として見た場合は位相境界が空であるが、実平面の部分集合として見た場合は位相境界が空である。特に、位相境界は周囲の空間に依存するが、多様体の境界は不変である。

• 詳細については、位相多様体の境界に関する説明を参照してください。
• 多様体の境界 – 局所的にユークリッド空間に類似する位相空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 境界点 – ベクトル空間の部分集合に関連する数学的概念
• 閉包（位相）  - 位相空間の部分集合内のすべての点と極限点
• 外部（位相） – 与えられた集合と交わらない最大の開集合
• 内部（位相）  – 与えられた集合の最大の開集合
• どこにも稠密でない集合 – 閉包の内部が空である数学的集合
• ルベーグの密度定理、境界の測度論的特徴づけと性質
• 表面（位相）  - 2次元多様体

• マンクレス、JR (2000)。トポロジー。プレンティス・ホール。ISBN 0-13-181629-2。
• ウィラード、S. (1970)。一般位相幾何学。アディソン・ウェスレー。ISBN 0-201-08707-3。
• ヴァン デン ドライス、L. (1998)。トポロジを飼いならす。ISBN 978-0521598385。