ガウス・エルミート積分法

数値解析において、ガウス・エルミート積分法は、次のような積分の値を近似する ガウス積分法の一種です。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx.}$

この場合

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})}$

ここで、nは使用されるサンプル点の数である。x _{i は}物理学者版のエルミート多項式H _n ( x ) ( i = 1,2,..., n )の根であり、関連する重みw _i^は[1]で与えられる 。

${\displaystyle w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}.}$

関数h(y)を考えます。ここで、変数yは正規分布します。h の期待値は、次の積分に対応します。 ${\displaystyle y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)h(y)dy}$

これはエルミート多項式に正確には対応していないため、変数を変更する必要があります。

${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\Leftrightarrow y={\sqrt {2}}\sigma x+\mu }$

置換積分と組み合わせると、次の式が得られます。

${\displaystyle E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp(-x^{2})h({\sqrt {2}}\sigma x+\mu )dx}$

結果として次のようになります:

${\displaystyle E[h(y)]\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}h({\sqrt {2}}\sigma x_{i}+\mu )}$

• Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. 編 (2010)、「Quadrature: Gauss–Hermite Formula」、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• Shao, TS; Chen, TC; Frank, RM (1964). 「特定の関連するラゲール多項式と関連する一般化エルミート多項式のゼロとガウス重みの表」. Math. Comp . 18 (88): 598–616. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . MR  0166397.
• Steen, NM; Byrne, GD; Gelbard, EM (1969). 「積分 ∫ 0 ∞ e − x 2 f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx} と ∫ 0 b e − x 2 f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{0}^{b}e^{-x^{2}}f(x)dx} のガウス積分法」. Math. Comp . 23 (107): 661–671. doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247744-3 . MR  0247744.
• Shizgal, B. (1981). 「ボルツマン方程式および関連問題の解法に使用するガウス求積法」J. Comput. Phys . 41 (2): 309–328. doi :10.1016/0021-9991(81)90099-1.

• n = 32までのガウス・エルミート分布の横座標と重みの表については、http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm を参照してください。
• 一般化ガウス・エルミート積分法、C++、Fortran、Matlab の無料ソフトウェア