JLO コサイクル

非可換幾何学において、ヤッフェ＝レスニエフスキー＝オスターワルダー（JLO）コサイクル（アーサー・ヤッフェ、アンジェイ・レスニエフスキー、コンラッド・オスターワルダーにちなんで命名）は、巡回コホモロジー群全体のコサイクルである。これは、従来の微分幾何学の古典的なチャーン特性の非可換版である。非可換幾何学では、多様体の概念は、想定される非可換空間上の「関数」の非可換代数に置き換えられる。代数の巡回コホモロジーには、その非可換空間の位相に関する情報が含まれており、これは、ド・ラーム・コホモロジーが従来の多様体の位相に関する情報を含んでいるのと非常によく似ている。 ^{[1] [2]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

JLOコサイクルは、 -総和可能なスペクトル三重項（-総和可能なフレドホルム加群としても知られる）として知られる非可換微分幾何学の計量構造に関連付けられている。これは、1988年にJaffe、Lesniewski、およびOsterwalderによる論文で初めて導入された。^[3]${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta}$

JLO 構築への入力は、- 加算可能なスペクトル トリプルです。これらのトリプルは次のデータで構成されます。 ${\displaystyle \theta}$

(a) が有界作用素の代数として作用する ようなヒルベルト空間。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

(b)上の-次数付け、。代数は-次数付けの下で偶数、すなわちすべての に対してであると仮定する。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}\oplus {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle a\gamma =\gamma a}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$

(c) 自己随伴（非有界）演算子、ディラック演算子と 呼ばれ、${\displaystyle D}$

(i) はに関して奇数、すなわちである。${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle D\gamma =-\gamma D}$

(ii) それぞれはの定義域をそれ自身に写像し、演算子は有界である。${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathrm {Dom} \left(D\right)}$${\displaystyle \left[D,a\right]:\mathrm {Dom} \left(D\right)\to {\mathcal {H}}}$

(iii) 、すべての について。${\displaystyle \mathrm {tr} \left(e^{-tD^{2}}\right)<\infty }$${\displaystyle t>0}$

加算可能なスペクトル三重項の典型的な例は、次のようにして生じます。をコンパクトなスピン多様体、を 、 上の滑らかな関数の代数、上の平方可積分形式のヒルベルト空間、および標準ディラック演算子とします。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{\infty }\left(M\right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$

-和可能なスペクトル三重項が与えられたとき、その三重項に関連付けられたJLOコサイクルはシーケンスである ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)}$

${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)=\left(\Phi _{t}^{0}\left(D\right),\Phi _{t}^{2}\left(D\right),\Phi _{t}^{4}\left(D\right),\ldots \right)}$

代数上の関数の集合。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Phi _{t}^{0}\left(D\right)\left(a_{0}\right)=\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-tD^{2}}\right),}$

${\displaystyle \Phi _{t}^{n}\left(D\right)\left(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=\int _{0\leq s_{1}\leq \ldots s_{n}\leq t}\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-s_{1}D^{2}}\left[D,a_{1}\right]e^{-\left(s_{2}-s_{1}\right)D^{2}}\ldots \left[D,a_{n}\right]e^{-\left(t-s_{n}\right)D^{2}}\right)ds_{1}\ldots ds_{n},}$

に対してである。によって定義されるコホモロジー類は、${\displaystyle n=2,4,\dots }$${\displaystyle \Phi _{t}\left(D\right)}$${\displaystyle t}$

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