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数学において、非可換トポロジーとは、位相概念とC*-代数概念の関係を表す用語である。この用語は、局所コンパクトハウスドルフ空間の圏と可換C*-代数の圏の双対性を示すゲルファント＝ナイマークの定理に由来する。非可換トポロジーは、解析的非可換幾何学と関連している。
非可換位相の前提は、非可換C*-代数を、古典的には存在しない「非可換空間」上の複素数値連続関数の代数として扱うことができるという点にある。いくつかの位相的性質は、可換性や基礎となる空間を参照することなくC*-代数の性質として定式化でき、したがって直接的な一般化が可能である。それらの性質には以下のようなものがある。
可換C*-環の個々の要素は連続関数に対応します。したがって、特定の種類の関数はC*-環の特定の性質に対応します。例えば、可換C*-環の自己共役要素は実数値連続関数に対応します。また、射影（すなわち自己共役冪等元）は、開集合の指示関数に対応します。
圏論的構成からいくつかの例が得られます。たとえば、空間の余積は互いに素な和集合であり、したがってC*-代数の積である代数の直和に対応します。同様に、積位相はC*-代数の余積、つまり代数のテンソル積に対応します。より専門的な設定では、位相のコンパクト化は代数の単位化に対応します。したがって、1点コンパクト化はC*-代数の最小単位化に対応し、ストーン-チェフコンパクト化は乗数代数に対応し、コロナ集合はコロナ代数に対応します。
複数の一般化が可能で、どれが好ましいかが明確でない性質の例がいくつかあります。例えば、確率測度は状態またはトレース状態のいずれかに対応します。可換の場合、すべての状態は自明にトレース状態であるため、トレース条件が有用な一般化であるために必要かどうかは明らかではありません。
この考え方の主要な例の1つは、位相的K理論を非可換C*-環に一般化した演算子K理論である。
この分野のさらなる発展として、KK理論と呼ばれるK理論の二変量版があり、これは合成積を持つ。
通常の K 理論における環構造は、その特殊な場合である。積はKK に圏の構造を与える。それは代数多様体の対応と関連付けられてきた。[ 1 ]
