ベズーマトリックス

数学において、ベズー行列（またはベズー行列、ベズー行列）は、2 つの多項式に関連付けられた特別な正方行列であり、1853 年にジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって、 1857 年にアーサー・ケイリーによって導入され、エティエンヌ・ベズーにちなんで名付けられました。^{[ 1 ] [ 2 ]}ベズー行列は、この行列の行列式を指す場合もあり、これは2 つの多項式の終結式に等しくなります。ベズー行列は、与えられた多項式の安定性をテストするために使用されることがあります。

させて${\displaystyle f(z)}$そして${\displaystyle g(z)}$次数が最大nの2 つの複素多項式とする。

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\qquad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}.}$

（任意の係数に注意してください）$u_i$または${\displaystyle v_{i}}$（ゼロになる場合もある。）多項式fとgに関連付けられたn次ベズー行列は

${\displaystyle B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots ,n-1}}$

エントリが${\displaystyle b_{ij}}$同一性から得られる結果

${\displaystyle {\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{xy}}=\sum _{i,j=0}^{n-1}b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.}$

これはn × n の複素行列であり、その要素は、${\displaystyle \ell _{ij}=\max\{0,ij\}}$そして${\displaystyle m_{ij}=\min\{i,n-1-j\}}$各${\displaystyle i,j=0,\dots ,n-1}$、 それから：

${\displaystyle b_{ij}=\sum _{k=\ell _{ij}}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{ik}-u_{ik}v_{j+k+1})。}$

各ベズー行列には、ベズー行列と呼ばれる以下の双線形形式を対応付けることができる。

${\displaystyle \operatorname {ベズ}$ :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}  :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez} (x,y)=x^{*}B_{n}(f,g)\,y.}

• n  = 3の場合、次数が（最大で）3 の任意の 多項式fおよびgに対して、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle B_{3}(f,g)=\left[{\begin{行列}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0 }v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v _{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\!.}$

• させて${\displaystyle f(x)=3x^{3}-x}$そして${\displaystyle g(x)=5x^{2}+1}$これら2つの多項式をそれぞれとする。すると、次のようになる。

${\displaystyle B_{4}(f,g)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\!.}$

最後の行と列はすべてゼロです。これは、fとgの次数がn (4) より厳密に小さいためです。その他のゼロのエントリは、それぞれについてです。${\displaystyle i=0,\dots ,n}$、 どちらか$u_i$または${\displaystyle v_{i}}$ゼロです。

• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$（行列として）対称である。
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)}$;
• ${\displaystyle B_{n}(f,f)=0}$;
• ${\displaystyle (f,g)\mapsto B_{n}(f,g)}$双線形関数である。
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$fとgの係数が実数であれば、は実数行列である。
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$非特異であり、${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}$fとgに共通の根がない場合に限る。
• ${\displaystyle B_{n}(f,g)}$と${\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}$fとgの合成である行列式を持つ。
• ベズーティアン行列は、合流型ヴァンデルモンド行列の助けを借りてブロック対角形式に変換できます。^{[ 3 ]}

ベズー行列の重要な応用例は制御理論に見られる。これを見るために、f ( z )をn次複素多項式とし、 qとpをf (iy ) =  q ( y ) + ip ( y )（yは実数）を満たす実多項式とする。また、ランクをr、符号をσで表す。   ${\displaystyle B_{n}(p,q)}$すると、次の記述が得られます。

• f ( z )は、その共役関数とn  - r個の共通根を持つ。 
• f ( z )の左r根は、次のような位置にある。
  • （r  + σ）/2 個は開いた左半平面にあり、 
  • ( r  − σ )/2 は開いた右半平面内にあります。 
• fがフルヴィッツ安定であるのは、${\displaystyle B_{n}(p,q)}$正定値です。

3番目の記述は、安定性に関する必要十分条件を示しています。また、1番目の記述はシルベスター行列に関する結果と類似点があり、2番目の記述はラウス・フルヴィッツの定理と関連付けることができます。

• Cayley、Arthur (1857)、「Note sur la methode d'elimination de Bezout」、J. Reine Angew。数学。、53 : 366–367、土井: 10.1515/crll.1857.53.366
• Kreĭn, MG; Naĭmark, MA (1981) [1936]、「代数方程式の根の分離理論における対称形式とエルミート形式の方法」、Linear and Multilinear Algebra、10 (4): 265–308、doi : 10.1080/03081088108817420、ISSN 0308-1087、MR 0638124  
• Pan, Victor; Bini, Dario (1994).多項式と行列の計算. スイス、バーゼル：Birkhäuser. ISBN 0-8176-3786-9。
• プリチャード、アンソニー・J.、ヒンリヒセン、ディーデリッヒ（2005）。数理システム理論I：モデリング、状態空間解析、安定性およびロバスト性。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-44125-5。
• シルベスター、ジェームズ・ジョセフ（1853）「2つの有理積分関数の合体関係の理論について、シュトゥルム関数の理論および最大代数共通尺度の理論への応用を含む」、Philosophical Transactions of the Royal Society of London、143、The Royal Society: 407–548、doi : 10.1098/rstl.1853.0018、ISSN 0080-4614、JSTOR 108572