電磁四電位

電磁四元ポテンシャルは、電磁場を導出できる相対論的ベクトル関数です。これは、電気スカラーポテンシャルと磁気ベクトルポテンシャルの両方を単一の四元ベクトルに組み合わせたものです。^{[ 1 ]}

特定の基準系およびゲージにおいて測定した場合、電磁四元ポテンシャルの第１成分は慣習的に電気スカラーポテンシャルとされ、他の３つの成分は磁気ベクトルポテンシャルを構成する。スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルはどちらも基準系に依存するが、電磁四元ポテンシャルはローレンツ共変である。

他のポテンシャルと同様に、電磁四元ポテンシャルも、ゲージの選択に応じて、同じ電磁場に対応するものが多数存在する。

この記事では、テンソル添え字表記とミンコフスキー計量符号規約（+ − − −）を使用します。表記の詳細については、ベクトルの共変性と反変性、および添え字の上げ下げに関する項目も参照してください。数式はSI単位系とガウスcgs単位系で示されています。

反変電磁四元電位は次のように定義できる。^{[ 2 ]}

ここで、^ϕは電位、 Aは^磁気ポテンシャル（ベクトルポテンシャル）です。Aαの単位は^、 SIではV・s・m⁻¹、Gaussian-CGSではMx・cm⁻¹です。

これらの4つの電位に関連する電場と磁場は次のとおりです。^{[ 3 ]}

特殊相対性理論では、電場と磁場はローレンツ変換によって変換されます。これは、2階テンソルである電磁テンソルの形で表すことができます。ミンコフスキー計量規約（+ − − −）を用いた電磁テンソルの16個の反変成分は、電磁4元ポテンシャルと4元勾配を用いて次のように表されます。

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

当該署名が（− + + +）である場合：

${\displaystyle F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

これは本質的に、物理的に観測可能な量を用いて4元ポテンシャルを定義するものであり、上記の定義に帰着する。

多くの場合、ローレンツゲージの状態${\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=0}$慣性座標系では、マクスウェル方程式を次のように簡略化するために用いられます。^{[ 2 ]}

ここで、J ^αは4 電流の成分であり、

${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }}$

はダランベール演算子である。スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの観点から見ると、この最後の式は次のようになる。

与えられた電荷と電流分布ρ ( r , t )とj ( r , t )に対して、SI単位系におけるこれらの方程式の解は次のようになります。^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}}$

は遅延時間です。これは、次のように表現されることもあります。

${\displaystyle \rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],}$

ここで角括弧は、遅延時間で時間を評価する必要があることを示しています。もちろん、上記の式は単に非同次微分方程式の解であるため、境界条件を満たすために同次方程式の任意の解をこれらに加えることができます。これらの同次解は一般に、境界外の発生源から伝播する波を表します。

上記の積分を、例えば振動電流（または電荷）のような典型的なケースで評価すると、 r ⁻²に応じて変化する磁場成分（誘導磁場）と、 r ⁻¹として減少する成分 （放射磁場）の両方が得られることがわかります。

1形式に平坦化すると（テンソル表記では、${\displaystyle A_{\mu }}$）、4つの潜在能力${\displaystyle A}$（通常はベクトルまたは、${\displaystyle A^{\mu }}$（テンソル表記）は、ホッジ分解定理により、正確な、共正確、調和形式の和として分解できます。

${\displaystyle A=d\alpha +\delta \beta +\gamma }$。

Aにはゲージ自由度があり、この分解の3つの形式のうち、電磁テンソルに影響を与えるのは共正確形式のみです。

${\displaystyle F=dA}$。

正確な形式は閉じており、適切な領域上の調和形式も同様です。${\displaystyle dd\alpha =0}$そして${\displaystyle d\gamma =0}$常に。だから何であれ${\displaystyle \alpha }$そして${\displaystyle \gamma }$つまり、私たちは単に

${\displaystyle F=d\delta \beta }$。

無限に平坦なミンコフスキー空間では、すべての閉形式は完全である。したがって、${\displaystyle \gamma }$項は消滅する。すべてのゲージ変換${\displaystyle A}$したがって、次のように書くことができる。

${\displaystyle A\Rightarrow A+d\alpha }$。

• アハロノフ・ボーム効果
• 古典電磁気学の共変形式
• 4ベクトル
• グルーオン場
• ジェフィメンコの方程式

• リンドラー、ヴォルフガング（1991）。特殊相対性理論入門（第2版）。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853952-5。
• Jackson, JD (1999).古典電磁気学（第3版） . ニューヨーク：Wiley. ISBN 0-471-30932-X。