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この記事では、集合の数学的な性質と法則を列挙し、集合論における和集合、積集合、補集合の演算、および集合の等価性や包含関係について解説します。また、これらの演算と関係を含む式を評価し、計算を実行するための体系的な手順も示します。
集合の和集合の二項演算（）と交差（) は多くのアイデンティティを満たす。これらのアイデンティティ、あるいは「法則」のいくつかは、よく知られた名前を持っている。
この記事全体を通して、大文字（例：そして）は集合を表します。恒等式の左辺では、
これは、複雑な式や恒等式と同じ記号を使用する式に恒等式を適用しやすくするためである。[注1 ] 例えば、恒等式 次のように読むことができます。
セットの場合そして定義する： そして 対称差は、等号: [ 1 ] [ 2 ]
1セット別の集合と交差すると言われているもし交わらない集合は互いに素であると言われる。
パワーセットは、のすべての部分集合の集合です。そして、で表されます
宇宙集合と補集合の表記法
表記法 使用できる場合ある集合の部分集合であるそれは（文脈から、あるいは上位集合が何であるかが明確に述べられているため）理解される。（です）。定義が強調されているのは、文脈によります。例えば、サブセットとして宣言されたセットと共にそして必ずしも互いに何らかの関係があるわけではないので、おそらく意味するところはの代わりに
必要であれば、特に指示がない限り、は全体集合を表し、これは式で使用されるすべての集合が の部分集合であることを意味します。 特に、集合の補集合は、特に明記されていない限り、の補数を表す（宇宙において）
仮定する
意味：は二項演算子の左単位元と呼ばれる。もしすべての人々のためにそしてそれは右同一要素と呼ばれ、もしすべての人々のために左の単位元であり、同時に右の単位元でもあるものを単位元と呼ぶ。
空集合二項和の恒等要素である対称差また、それは集合減法の右単位元でもある。 :}
しかしは左のアイデンティティ要素ではありません以来 それでかつその場合に限り
意味：は二項演算子の左吸収要素と呼ばれる。もしすべての人々のためにそしてそれは右吸収要素と呼ばれ、もしすべての人々のために左吸収要素であり、かつ右吸収要素でもあるものを吸収要素と呼ぶ。吸収要素は、消滅要素または零要素と呼ばれることもある。
宇宙集合は二項和集合の吸収要素である空集合は二項交差の吸収要素であるおよびバイナリデカルト積また、それは集合減法の左吸収要素でもある。 :}
しかしは集合減算の右吸収要素ではない。 どこかつその場合に限り
二重補数法則または対合法則：
次の恒等式の左辺において、左端のセットでは最も右の集合です。ある宇宙集合の部分集合である
以下の恒等式の左辺において、Lは最も左の集合、Rは最も右の集合である。必要に応じて、LとRはともに何らかの全体集合Xの部分集合であると仮定する。
ド・モルガンの法則は、次の恒等式である。
通常は（ただしこの仮定は任意の集合に対して恒等式が成り立つため、これは不要です。)、その場合は書き換えることができる
交差点では、片側に組合がある一方、交差点があった。両側でそうすると、代わりに、共通部分に対する集合減算の左分配法則の公式になりますが、これは一般には成り立ちません。
集合の減算は可換ではありません。しかし、集合の減算の可換性は次のように特徴づけることができます。したがって、次のことが言える。 言い換えれば、異なる記号が常に異なる集合を表す場合、次の形式の真の公式は記述できるのは、単一の記号を含むもの、つまり次の形式のものとなる。しかし、このような公式はすべての二項演算 に対して必ず成り立つ。（なぜなら等号の定義により、 が成り立たなければならないため、この意味で、集合の減算は二項演算としては可能な限り正反対であり、可換性もありません。集合の減算は左選択でも右選択でもありません。代わりに、かつその場合に限りかつその場合に限り 集合の減算は準可換であり、ジョルダン恒等式を満たす。
吸収法則：
その他の物件
間隔：
以下の記述は、どのような場合でも同等です。[ 3 ]
以下の記述は、どのような場合でも同等です。
以下の記述は同等です。
セット文が空の場合表記法が正しい場合、は略語です
もしが任意の集合である場合、以下は同等である。
もしが任意の集合である場合、以下は同等である。
与えられたもの以下は同等です。
さらに、
包含関係は部分順序である。具体的には、包含関係は部分順序である。これは二項演算であり、次の 3 つの特性を持っています: [ 3 ]
以下の命題は、任意の集合に対してパワーセット包含関係によって順序付けられているのは有界束であり、したがって上記の分配法則と補元法則と合わせて、それがブール代数であることを示す。
組合結合/上限はそしてに関してなぜなら：
交差点結合/上限はそしてに関して
交差点は、そしてに関してなぜなら：
組合は、そしてに関して
その他の包含特性：
次の恒等式の左辺において、一番左のセットです。Mは中間集合であり、は最も右側のセットです。
基本的な集合演算子の優先順位については、普遍的な合意は存在しない。しかしながら、多くの著者は集合演算子に優先順位規則を用いており、その規則は著者によって異なる。
共通慣習の 1 つは、交差を関連付けることです論理積（and）付きおよび関連組合論理和（または）そしてこれらの論理演算子の優先順位を転送します（優先権があるこれらの集合演算子に ) を適用することで、優先順位 例えば、それはつまり論理的なステートメントに関連付けられるため同様に、それはつまりそれは関連付けられるだろう
時には、補数（減算）を設定する論理補語（否定）とも関連付けられていますその場合は、それが最優先されます。より具体的には、書き換えられた例えば、それはつまり論理式として書き換えられるためこれは 別の例として、手段これは両方に等しいそして（どこ次のように書き換えられました)、その式セットを参照します さらに、このセットも以下と等しい（他の集合の恒等式も同様に命題論理の恒等式からこのようにして導き出すことができる。）しかし、集合の減算は結合法則を満たさないため式の例曖昧になる可能性があるため、とりわけ、集合の減算には優先順位が全く割り当てられないことが多い。
対称差排他的論理和（XOR）と関連付けられることがある（また、時には次のように表記される）)、その場合、優先順位が最高から最低までである場合は集合演算子の優先順位（高い順から低い順）は次のようになります。 排他的論理和の優先順位については、普遍的な合意は得られていない。他の論理結合子に関して、対称差優先順位が与えられることはあまりない。
以下の集合演算子は結合法則を満たします: [ 3 ]
集合の減算においては、結合法則の代わりに、以下のことが常に保証される。 等号が成り立つのは、（この条件は）。 したがって かつその場合に限り 左辺と右辺の等式セットの唯一の違いは、交換されました。
定義：もし二項演算子である場合左分配もし その間権利は分配するもし オペレーター分配する左分配法則と右分配法則の両方を満たす場合 上記の定義では、一方の側を他方の側に変換するには、最も内側の演算子（括弧内の演算子）が最も外側の演算子になり、最も外側の演算子が最も内側の演算子になります。
交差は対称差に対して分配される：
和集合は対称差集合に対して分配されない。なぜなら、一般に保証されるのは以下のことだけだからである。
対称差はそれ自身に対して分配されない。 一般に、任意の集合に対して（どこ表現する)は、 の部分集合でも、上位集合でもない可能性がある。（そして、それは)
左分配における集合減算の失敗:
集合の減算は、それ自身に対して右分配法則が成り立つ。しかし、集合の減算は、それ自身に対して左分配法則が成り立たない。なぜなら、一般に保証されるのは以下の条件のみだからである。 等号が成り立つのは、これは、
対称差の場合、集合はそしては常に互いに素です。したがって、これら 2 つの集合は、両方とも等しい場合に限り、等しいです。 さらに、かつその場合に限り
集合の和集合または積集合に対する集合減算の左分配法則を調べるには、ド・モルガンの法則（両方）に関わる集合がどのように関連しているかを考えてみましょう。 常に成り立つ (左と右の等号はド・モルガンの法則である) が、一般には等号は保証されない (つまり、包含関係は（厳密な場合もある）。等号が成立するのは、これは、
ド・モルガンの法則に関するこの観察は、分配法則を満たさないまたは一般的に保証されるのは以下の点のみであるため： 上記の2つの包含式のうち一方（または同等に両方）について等号が成り立つのは、
以下の記述は同等です。
準可換性： 常に成り立つが、一般的には、 しかし、かつその場合に限りかつその場合に限り
集合減算の複雑さ：集合減算を含む多くの恒等式を管理するために、このセクションは、恒等式の左辺における集合減算演算と括弧の位置に基づいて分割されています。集合減算を含む式（含まない式と比較して）の多様性と（相対的な）複雑さは、部分的には、集合減算とは異なり、そして集合の減算は結合法則も交換法則も満たさず、左分配法則も満たさない。あるいは、それ自体の上にさえ。
集合の減算は一般に結合法則を 満たさない。 常に保証されるのは以下の点のみであるため：
左辺に引き算、左辺に括弧を配置する
左辺に引き算、右辺に括弧を配置する
ド・モルガンの法則 の対象となる上記の２つの集合は常に以下を満たす。
引き算は右辺に、括弧は左辺にセットする
右辺に引き算、右辺に括弧を配置する
フォームの操作:
フォームの操作:
フォームの操作:
その他の特性：
有限個の集合が与えられた場合何かがそれらの対称差に属するのは、それがこれらの集合のうち奇数個に属する場合に限る。具体的には、任意の濃度がは奇数です。（対称差は結合法則を満たすので、括弧は不要です。）)
したがって、3つの集合の対称差は次の式を満たす。
二項直交積⨯は、和集合、積集合、集合減算、対称差に分配されます。
しかし一般的に、⨯はそれ自身に対して分配法則を満たさない。
そして
一般的に、部分集合でもスーパーセットでもない
させてそしてインデックス付き集合の族である。仮定が必要な場合はいつでも、すべてのインデックス付き集合、たとえば、そして空でないものと仮定する。
集合の族、あるいは（より簡潔に）族とは、要素が集合である集合のことを指します。
インデックス付き集合族とは、インデックス集合と呼ばれるある集合から、ある集合族への関数のことである。インデックス付き集合族は、で表す。この表記法では、記号を割り当てるインデックスセットと各インデックスについてシンボルを割り当てる関数の値に 関数自体は次の記号で表される。これは表記法から得られるインデックスを置き換えることによって弾丸の記号付き具体的には、関数は次のとおりです。 これは次のように要約できます。
任意のインデックス付き集合族（これは関数である）は、その像／値域と正準的に関連付けられる。（これは集合の族である）。逆に、任意の集合の族はと関連している可能性がある-インデックス付き集合族これは厳密にはアイデンティティマップである しかし、これは全単射対応ではありません。なぜなら、インデックス付き集合族は単射である必要はありません（つまり、異なるインデックスが存在する可能性があります）のようなこれは特に、異なるインデックス付き集合族（関数）が同じ集合族に関連付けられる可能性があることを意味します（同じイメージ/値域を持つことによって）。
任意結合の定義[ 3 ]
もしそれからこれはヌル和の慣習と呼ばれることもあります（慣習と呼ばれていますが、この等号は定義から導き出されます）。
もし集合の族である場合集合を表します。
任意に定義された交点
もしそれから[ 3 ]
もしが空でない集合族である場合集合を表します。
ヌルリー交差
もしそれから あらゆる可能なものが宇宙は空虚に条件を満たした。「もしそれから"。 その結果、宇宙に存在するすべてのものから成り立っている。
だからもしそして：
このことから、以下の仮定／定義が導き出される。
一部の著者は、いわゆる空集合交差規約を採用している。これは、空の集合の交差が何らかの標準集合に等しいという規約である。特に、すべての集合が何らかの集合の部分集合である場合。すると、ある著者はこれらの集合の空集合の共通部分が等しいと宣言するかもしれない。しかし、空交差規約は空和規約ほど一般的に受け入れられておらず、この記事ではそれを採用しません（これは、空和とは異なり、空交差の値はしたがって、検討対象となる集合が複数ある場合（これはよくあるケースである）、空の交差部分の値が曖昧になるリスクがある。
複数のインデックスセット
および[ 4 ]
および[ 4 ]
素朴に交換するそして異なるセットを生成する可能性があります
以下の包含関係は常に成り立つ。
一般に、等号は必ずしも成立せず、さらに、右辺は各固定値に対してどのようにセットラベルが付けられ、同様に、左辺は各固定値に対してどのようにセットラベルが付けられています。これを実証する例を以下に示します。
包含関係における等価性1 ∪∩ は ∩∪ の部分集合であり、 7eのように特定の状況下で成り立つことができ、これは次の特別なケースです。は（つまり、同じインデックスセットを使用そして）、または7fのように、これは、は（つまり、インデックスセットを使用してそして（入れ替えた）。分配法則を拡張する正しい公式には、単に入れ替える以外の方法がある。そして必要です。
各は空でないインデックスセットであり、各させて任意の集合とする（例えば、この法則を使用すべての人々のためにそして使用するすべての人々のためにそしてすべて）。 させて はデカルト積 を表し、これはすべての関数の集合として解釈できます。そのためすべてのこのような関数は、タプル表記を用いて表すこともできる。どこすべての逆に、タプルこれは、定義域を持つ関数を表す表記法です。その価値ははどちらの表記法も、 それから
どこ
適用例：すべての等しい（つまり、すべての人々のためにこれは家族の場合にも当てはまる例えば）この共通集合を表すと、デカルト積はこれは、次の形式のすべての関数の集合です。上記の等式Eq. 5 ∩∪ から ∪∩およびEq. 6 ∪∩ から ∩∪ は、それぞれ次のようになります。[ 3 ]
これは包含関係1と組み合わせると、∪∩は∩∪の部分集合となり、次のことを意味します。 どこ
適用例：一般式を次のケースに適用するそして使用そしてすべての人々のためにそしてすべての人々のために すべての地図ペアと一対一で同一視できる（逆は地図へ定義されるそしてこれは厳密には表記法の変更に過ぎません）。式 5 ∩∪ から ∪∩は 左辺を展開して簡略化すると、 そして右辺にも同じ操作を行うと、次のようになる。
したがって、一般的な恒等式式 5 ∩∪ から ∪∩ は、先に与えられた等式式 3bに帰着します。
次の恒等式はド・モルガンの法則として知られています。[ 4 ]
上記の等式7a～7dから、以下の4つの集合等式を導き出すことができる。
一般的に、素朴に交換するとそして異なるセットを生成する可能性があります（詳細についてはこの注記を参照してください）。等式 式7eと式7f に見られるものは、交換がまさにそして結果セットは変更されません。
可換性：[ 3 ]
和集合と交差集合の交差：[ 3 ]
および[ 3 ]
もし集合の族である場合
特に、そして同じセットでインデックス付けされた2つのファミリーは 例えば、 そして
異なるセットによってインデックス付けされた製品の交差
させてそして異なる集合によってインデックス付けされた2つのファミリーとする。
技術的には、暗示するしかし、これらの積が何らかの全単射 によって同じ集合として識別される場合や、これらの積の一方が何らかの単射写像によって他方の部分集合として識別される場合があり、その場合（表記の濫用により）、この共通部分は他の（おそらく空でない）集合と等しくなる可能性があります。
二項直交積⨯は、任意の交差（インデックス集合が空でない場合）および任意の和集合に対して分配されます。
各は空でないインデックスセットであり、各させて任意の集合とする（例えば、この法則を使用すべての人々のためにそして使用するすべての人々のためにそしてすべて）。 させて はデカルト積 を表し、これは（前述のように）すべての関数の集合として解釈できます。そのためすべての。 それから
どこ
労働組合に関しては、一般的に以下のことだけが保証されている。 どこは集合の族である。
しかし、
もしそして集合の2つの族は次のようになります。 例えば、 そして
させて任意の関数とする。
させては完全に任意の集合であると仮定する。
させては任意の関数であり、その定義域を で表す。によるそしてその終域を表すによる
以下の多くの恒等式は、実際には集合が何らかの形で関連していることを必要としません。の定義域または値域（つまり、または) したがって、何らかの関係が必要な場合は、それが明確に示されます。このため、この記事では、は「任意の集合」であると宣言されており、何らかの形で関連しているに違いないまたは（例えば、それが部分集合であるとしよう）または) ならばそれはは、実に恣意的です。[注3 ] この一般性は、次のような状況で役立ちます。2つの部分集合間のマップですそしてより大きなセットのいくつかそしてそしてセットが完全に含まれていない可能性があるおよび/または（例えば、知られていることすべてがそれは）このような状況では、何が言えて何が言えないのかを知っておくと役立つかもしれません。および/または次のような（場合によっては不要な）交差を導入することなく：および/または
集合の像と逆像
もしは任意の集合であり、そのイメージは下は、以下の集合として定義されます。 原像下は： もしがシングルトンセットである場合、ファイバーまたはプリイメージは下は
で表すまたは画像または範囲これは集合です。
飽和セット
セットと言われている-飽和または以下のいずれかの同等条件が満たされる場合、飽和セットとなります。 [ 3 ]
セットの場合である飽和状態であるためには、
機能の構成と制限
もしそして地図は構成マップ を示す ドメインとコドメインを持つ 定義される
制限にで示される地図は と送信によって定義されるにつまり、 あるいは、どこは包含マップを表し、それは次のように定義されます。
もしは、によってインデックス付けされた任意の集合の族である。そして：[ 5 ]
これら4つの恒等式のうち、常に保存されるとは限らないのは交差の像だけ です。原像はすべての基本的な集合演算を保存します。和集合は像と原像の両方によって保存されます。
すべては飽和状態なるだろう-飽和状態であり、上記の最初の関係式では等号が成立します。具体的には、次のようになります。
もしは、の任意のサブセットの族である。つまりすべての人々のためにすると、条件付き等式10aは次のようになります。
全体を通して、そしてを任意の集合とし、任意の関数とする。
まとめ
以下の表に示すように、集合の等価性は、交差、集合の減算、対称差の像に対してのみ保証されません。
原像は集合演算を保持する
集合の逆像は、すべての基本的な集合演算に関して良好な性質を持つ。
言い換えれば、原像は和集合、積集合、集合の減算、および対称差に分布する。
画像は結合のみを保存する
労働組合のイメージは行儀が良い。
しかし、他の基本的な集合演算の画像は保証されません。一般に保証されるのは以下のものだけです。
言葉で言えば、イメージは和集合には分布するが、必ずしも積集合、集合減算、または対称差には分布しない。これら後者の 3 つの操作に共通するのは集合減算である。つまり、それらは集合減算であるか、あるいは、それらは2つの集合の集合減算として 自然に定義できる。
もしそれからより一般的なケースでは、平等は保証されない。は全射であるこれは次のように書き換えることができます。もしそして
もし定数である、そしてそして、セットに含まれる4つの要素すべて 片側が空集合で、もう片側が空でない集合であるため、厳密/適切（つまり、集合は等しくない） です。したがって、最も単純な関数であっても等号は保証されません。上記の例を一般化して、定義域に少なくとも 2 つの (異なる) 点が含まれる任意の定数関数では、これら 4 つの集合の等号が成り立たない可能性があることを示します。
例：させて像が定数関数であるそして、は空でない互いに素な部分集合である。つまり、そしてこれは、すべてのセットがそして空ではないので、その結果、それらのイメージはすべて等しい
これら４つの例における集合演算に共通しているのは、集合の減算である、あるいは集合の減算である、ということである。（例（1）と（2））あるいは、2つの集合の集合減算として自然に定義することもできます（例（3）と（4））。
記憶術：実際、等号が保証されない上記の 4 つの集合式それぞれについて、包含の方向（つまり、使用するかどうか）関数を想像することで常に推測できる定数として、そして 2 つのセット (そして）は、その定義域の空でない互いに素な部分集合として扱われます。これは、そのような関数ではすべての等式が成り立たず、次のようになります。一方の側は常にそしてもう一方の空でない−この事実から、正しい選択は「どちら側が空いているか？」という質問に答えることで推測できます。たとえば、 ？} で であるべき[注 5 ]は一定であり、そしては空でない互いに素な部分集合であるのドメイン。そうすると左辺は空になります（これは、であるべき（結果として得られる命題は常に真であることが保証される）なぜなら、これが選択となるから 真。あるいは、任意の定数を考慮することによって、包含の正しい方向を推測することもできる。とそして
さらに、この記憶術は、集合演算が常にイメージまたはプリイメージに分配するかどうかを正しく推論するためにも使用できます。たとえば、常に等しいあるいは、常に等しい（それでもここではが使用されていますが、) こうした質問への答えは、これまでと同様に、この定数関数を考慮することで導き出すことができます。一般の場合 (つまり任意の ) の答えは次のようになります。そして）は、この（定数）関数と互いに素な空でない集合の選択に対する答えと常に同じです。
すべての集合に対して等号が成立する場合の特徴付け：
任意の関数以下の記述は同等である。
In particular, if a map is not known to be injective then barring additional information, there is no guarantee that any of the equalities in statements (b) - (e) hold.
An example above can be used to help prove this characterization. Indeed, comparison of that example with such a proof suggests that the example is representative of the fundamental reason why one of these four equalities in statements (b) - (e) might not hold (that is, representative of "what goes wrong" when a set equality does not hold).
Characterizations of equality: The following statements are equivalent:
Sufficient conditions for equality: Equality holds if any of the following are true:
In addition, the following always hold:
Characterizations of equality: The following statements are equivalent:[proof 1]
Necessary conditions for equality (excluding characterizations): If equality holds then the following are necessarily true:
Sufficient conditions for equality: Equality holds if any of the following are true:
Characterizations of equality: The following statements are equivalent:[proof 1]
where if then this list can be extended to include:
Sufficient conditions for equality: Equality holds if any of the following are true:
Characterizations of equality: The following statements are equivalent:
Necessary conditions for equality (excluding characterizations): If equality holds then the following are necessarily true:
Sufficient conditions for equality: Equality holds if any of the following are true:
For any function and any sets and [proof 2]
Taking in the above formulas gives: where the set is equal to the image under of the largest -saturated subset of
It follows from and the above formulas for the image of a set subtraction that for any function and any sets and
It follows from the above formulas for the image of a set subtraction that for any function and any set
This is more easily seen as being a consequence of the fact that for any if and only if
It follows from the above formulas for the image of a set that for any function and any sets and where moreover, for any
The sets and mentioned above could, in particular, be any of the sets or for example.
Let and be arbitrary sets, be any map, and let and
(Pre)Images of operations on images
Since
Since
Using this becomes and and so
Let and for every let denote the canonical projection onto
Definitions
Given a collection of maps indexed by define the map which is also denoted by This is the unique map satisfying
Conversely, if given a map then Explicitly, what this means is that if is defined for every then the unique map satisfying: for all or said more briefly,
The map should not be confused with the Cartesian product of these maps, which is by definition is the map with domain rather than
Preimage and images of a Cartesian product
Suppose
If then
If then where equality will hold if in which case and
For equality to hold, it suffices for there to exist a family of subsets such that in which case:
and for all
Equivalences and implications of images and preimages
Intersection of a set and a (pre)image
The following statements are equivalent:
Thus for any [5]
A family of sets or simply a family is a set whose elements are sets. A family over is a family of subsets of
The power set of a set is the set of all subsets of :
Notation for sequences of sets
Throughout, will be arbitrary sets and and will denote a net or a sequence of sets where if it is a sequence then this will be indicated by either of the notations where denotes the natural numbers. A notation indicates that is a netdirected by which (by definition) is a sequence if the set which is called the net's indexing set, is the natural numbers (that is, if ) and is the natural order on
Disjoint and monotone sequences of sets
If for all distinct indices then is called a pairwise disjoint or simply a disjoint. A sequence or net of set is called increasing or non-decreasing if (resp. decreasing or non-increasing) if for all indices (resp. ). A sequence or net of set is called strictly increasing (resp. strictly decreasing) if it is non-decreasing (resp. is non-increasing) and also for all distinct indices It is called monotone if it is non-decreasing or non-increasing and it is called strictly monotone if it is strictly increasing or strictly decreasing.
A sequences or net is said to increase to denoted by [11] or if is increasing and the union of all is that is, if It is said to decrease to denoted by [11] or if is increasing and the intersection of all is that is, if
Definitions of elementwise operations on families
If are families of sets and if is any set then define:[12] which are respectively called elementwiseunion, elementwiseintersection, elementwise (set) difference, elementwisesymmetric difference, and the trace/restriction of to The regular union, intersection, and set difference are all defined as usual and are denoted with their usual notation: and respectively. These elementwise operations on families of sets play an important role in, among other subjects, the theory of filters and prefilters on sets.
The upward closure in of a family is the family: and the downward closure of is the family:
The following table lists some well-known categories of families of sets having applications in general topology and measure theory.
A family is called isotone, ascending, or upward closed in if and [12] A family is called downward closed if
A family is said to be:
A family of sets is called a/an:
Sequences of sets often arise in measure theory.
Algebra of sets
A family of subsets of a set is said to be an algebra of sets if and for all all three of the sets and are elements of [13] The article on this topic lists set identities and other relationships these three operations.
Every algebra of sets is also a ring of sets[13] and a π-system.
Algebra generated by a family of sets
Given any family of subsets of there is a unique smallest[note 7] algebra of sets in containing [13] It is called the algebra generated by and it will be denote it by This algebra can be constructed as follows:[13]
Let and be families of sets over On the left hand sides of the following identities, is the Left most family, is in the Middle, and is the Right most set.
Identity:
Domination:
If and are subsets of a vector space and if is a scalar then
Suppose that is any set such that for every index If decreases to then increases to [11] whereas if instead increases to then decreases to
If are arbitrary sets and if increases (resp. decreases) to then increase (resp. decreases) to
Suppose that is any sequence of sets, that is any subset, and for every index let Then and is a sequence of pairwise disjoint sets.[11]
Suppose that is non-decreasing, let and let for every Then and is a sequence of pairwise disjoint sets.[11]
Notes
Proofs
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cap X&\;=\;&&L&\;=\;&X\cap L~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\cup \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \cup L\\[1.4ex]L\,\triangle \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \,\triangle L\\[1.4ex]L\setminus \varnothing &\;=\;&&L\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aeaa7fe9553e9ae1df1d386d719c243c6b09196)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cup L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\cap L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\,\triangle \,L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]L\setminus L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705f7193dfc1f2e28f9bca7b4311dbb632cc4a55)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\cup L&\;=\;&&X&\;=\;&L\cup X~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]\varnothing \cap L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\cap \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \times L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\times \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \setminus L&\;=\;&&\varnothing &\;\;&\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08faf88ece3d9f5c2996231d5cdb74b83b87f01)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus (X\setminus L)&=L&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\left(L^{\complement }\right)^{\complement }=L&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\quad {\text{ (Double complement/Involution law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3fffc39ab1bea50c589b5eb9625baad499db49)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\,\cup (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cup L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\triangle (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\,\triangle L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\cap (X\setminus L)&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cap L^{\complement }=\varnothing &&\quad &&\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf2facd5309c0001c5c81e5ea29f700189fb905)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus \varnothing &=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\varnothing ^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ (Complement laws for the empty set))}}\\[1.4ex]X\setminus X&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&X^{\complement }=\varnothing &&\quad &&{\text{ (Complement laws for the universe set)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e545270f10f2103aaadde7bb370a16d90af907a9)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus (L\cap R)&=(X\setminus L)\cup (X\setminus R)&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]X\setminus (L\cup R)&=(X\setminus L)\cap (X\setminus R)&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcab6d4303d0963450cca511b7abac9389494ce)
^{\complement }=L^{\complement }\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d364cece11812175d0fd99962bc49d1b02a34df9)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cup R&\;=\;&&R\cup L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\cap R&\;=\;&&R\cap L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\,\triangle R&\;=\;&&R\,\triangle L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ed68a58a9c3712c81dee0521eafb325b2881d5)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\cup (L\cap R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]L\cap (L\cup R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3e4824a16b253d26d4f3e847e4a5a1dab173df)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\setminus R&=L\cap (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=L\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]X\setminus (L\setminus R)&=(X\setminus L)\cup R&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\setminus R)^{\complement }=L^{\complement }\cup R&&\quad &&{\text{ where }}R\subseteq X\\[1.4ex]L\setminus R&=(X\setminus R)\setminus (X\setminus L)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=R^{\complement }\setminus L^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d907808787ff660fb08b5966a8201cd48fa0f15)
![{\displaystyle \lnot [\forall x(x\not \in L)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0113ed8ed65220632c3bee7cad0d34b90ca1392)
\cap R&\;=\;\;&&L\cap (M\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle M)\,\triangle R&\;=\;\;&&L\,\triangle (M\,\triangle R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5b12c5b3ca0a1d1ce004d11c331da4a71254f2)
\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\triangle \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\setminus \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]~&~~=~~&&~~\;~~\;~~\;~L&&\,\setminus \,&&(M\cup R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57181f842782153133226b2b147a66add164492)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\cup (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cap (L\cup R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cup (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cup (L\cup R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cap (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\,\triangle \,R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470cb1b4c27b39682d25f9f5bd2bc34963c6846b)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)~&~~=~~&&(L\,\cap \,M)\,\triangle \,(L\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8b7f75a568095f49e9270640d305e77cfa181e)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,\triangle \,(M\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f8fa524053a207649f0f3391838e4faf8fac5c)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\cup (M\,\triangle \,R)~~{\color {red}{\supseteq }}~~\color {black}{\,}(L\cup M)\,\triangle \,(L\cup R)~&~=~&&(M\,\triangle \,R)\,\setminus \,L&~=~&&(M\,\setminus \,L)\,\triangle \,(R\,\setminus \,L)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349cda034c0b441a206e756b99f908cb73d2c69f)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\cap R\,\setminus \,M\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7c063843e71af6e8f9da1c2abeadf520ecd84f)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4c6aba62f06ad02f82a7d6dac1da487173c5648)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f3ba256ad5b3a3a180a8645df2bce25846c8d7)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd74c1e3056f4748926190cfd6f398905b3ef2c2)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\setminus R&=&&L\setminus (M\cup R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\setminus M)\cap (L\setminus R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebae8d027960a2d297feeb2d855f87b2607643a)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\setminus (M\setminus R)&=(L\setminus M)\cup (L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc457d405dc4c1bd3ca998e56d74dd6e183f9818)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}L\cup (M\setminus R)&=&&&&L&&\cup \;&&(M\setminus (R\cup L))&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=[&&(&&L\setminus M)&&\cup \;&&(R\cap L)]\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=&&(&&L\setminus (M\cup R))\;&&\;\cup &&(R\cap L)\,\,\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1156870ea28978017959bdff3936e706d7b72fa)
&\,\cap \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\cap R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\cup R))\,\cup \,(R\,\setminus \,(L\cup M))\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&M\cap (L\cup R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\cap R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\setminus \,R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&[(L\,\cap M)\cup (M\,\cap R)]\,\setminus \,(L\,\cap M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\,\setminus (M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus M)\cup (M\,\setminus R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\setminus (M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup \,M\,\cup \,R)\,\setminus \,(L\,\cap \,M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&((L\,\cap \,R)\,\setminus \,M)\,\cup \,(M\,\setminus \,(L\,\cup \,R))\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\,\cup \,R))\,\cup \,((M\,\cap \,R)\,\setminus \,L)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,R\\[1.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36acd8ad871ae49401e62d462ec91f9aee8b66c)
&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\setminus \,R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\triangle \,R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\cap (M\cup R)]\cup [R\,\setminus \,(L\cup M)]\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(R\,\setminus \,M)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (R\,\setminus \,M)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup R\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cup M\cup R)\,\setminus \,(L\cap M)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\,\setminus \,(M\cup R)]\cup (M\,\setminus \,L)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,M)\setminus (L\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,(M\cup R)\\[1.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373f4d35b8108e5f9cd9f0c919312463d8c10f77)
&\,\cap \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&(L\,\cap \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&\;=\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c798ad82f19ed780bed3af5bae021b27c3eef94)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\,\triangle \,M\,\triangle \,R&=(L\cap M\cap R)\cup \{x:x{\text{ belongs to exactly one of the sets }}L,M,R\}~~~~~~{\text{ (the union is disjoint) }}\\&=[L\cap M\cap R]\cup [L\setminus (M\cup R)]\cup [M\setminus (L\cup R)]\cup [R\setminus (L\cup M)]~~~~~~~~~{\text{ (all 4 sets enclosed by [ ] are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ce778a9dd8785ac4e34ec1b214f4c342cc97f7)
\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ce211756b4d11eaa0f1a8fafc31e0b18fdcd129)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f6ad690cc4194ed0f75425f3652d547437b6b9)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\cup ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\times \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf63e7f01d4477b693e8f78ab4110b885c38f4f9)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\setminus ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094f01cb93cc5132c0a81c5a634c25d938fda92a)
![{\displaystyle (L\times M\times R)~\setminus ~\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56184b2448aa8e903e2ade0edc6550eb08a2facd)
![{\displaystyle \left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times R\right)\cup \left(L\times R_{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d9e9450a36b779f8ea670c563e4a2751dae842b)
![{\displaystyle \left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times M\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times M\times R\right)\cup \left(L\times M_{2}\times R\right)\cup \left(L\times M\times R_{2}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1f20f09f358a8f4f435595394bd4b5165e74ee)
![{\displaystyle L\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~=~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[L\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383cf2c7f20c98cdc6a350aebf96372f4a3c83ba)
![{\displaystyle \left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times R~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times R\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b2a1fc9884849b9bcc9f61ef4919477e8e6e97)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~&&&&\,\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\[0.7ex]&=~&&&&\,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\cup \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6316373964c01c3cd9a84897748360bb306752c1)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(M\,\triangle \,M_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(M\cup M_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times M\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(M\cap M_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times M\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94f814dff9b895d507695c0d8c985c481618735)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times R\right)\cup \left(L_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322c0e0919891dca5187754976d759923d50dae8)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\times M\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times M\times R\right)\cup \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8dc4782583af89e0e19ff0befc52f8f3d620a64)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L_{\bullet }:\;&&I&&\;\to \;&\left\{L_{i}:i\in I\right\}\\[0.3ex]&&i&&\;\mapsto \;&L_{i}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8764184baf32db5783e7d26538adca48870a701)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\times \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3aacb7a154643278eadef222cc517cd209a02b5)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\setminus ~\prod _{i\in I}R_{i}~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~\prod _{i\in I}{\begin{cases}L_{j}\,\setminus \,R_{j}&{\text{ if }}i=j\\L_{i}&{\text{ if }}i\neq j\\\end{cases}}\\[0.5ex]~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.5ex]~&=~\bigcup _{\stackrel {j\in I,}{L_{j}\not \subseteq R_{j}}}{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.3ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b5c65706559ace2c6c5c71f6e87459a8d03809)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\triangle ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)~&=~\;~\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\cup ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)\;\setminus \;\prod _{i\in I}L_{i}\cap R_{i}\\[0.5ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e576c1034f3dee2f1b60d4e3f6086793b57057aa)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {domain} (g\circ f)&=\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in \operatorname {domain} g\,\}\\[0.4ex]\operatorname {codomain} (g\circ f)&=\operatorname {codomain} g\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798475061925e265d30a089b57de7115331723e2)
![{\displaystyle A_{1}=[-4,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636c4efc798a6ccb792408dd70a012daf441882f)
![{\displaystyle A_{2}=[-2,4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d28a442ea0320c0cefddfdf050ba09a84b07aaa2)
![{\displaystyle A_{3}=[-2,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d73ae1daa856a3eb86573c3510c9fcdd8f23fb)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~~~~~~~\;\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in V~~~~~~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)\setminus \left\{y\in f(S)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq L\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf8822c4c22fcc347ac06e826bdb539749b0627)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(X\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(X)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in W~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(R)\\[0.4ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e914d09a80d0fec5fed28351b85d49b86190f8b)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\,\triangle \,R)&=Y~~~\;~~~\;~~~\;\setminus \left\{y\in Y~~~\,~~~\;~~~\,~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cup R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in V~~~\,~~~~~~~~~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)~~\,~~~\,~\,\setminus \left\{y\in f(S)~~~\,~~~\;~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq (L\cup R)\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc28f55ad07e671187981e86c6ffb06d0e9844c)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L)&=Y~~~\;\,\setminus \left\{y\in Y~~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=W~~~\,\setminus \left\{y\in W~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(L)\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4dfa3f8bc62647f586c511557269f0b548fc98)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)&=Y~~~~~\setminus \left\{y\in Y~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in U~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad U\supseteq f(L)\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in V~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(R)\\[0.4ex]&=f(L)\cap f(R)\setminus \left\{y\in f(L)\cap f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.7ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed49df5994ce955f3dd141f2ccebeafa8e878cd)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(F_{j}\right)_{j\in J}:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J},\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73cca81a9a281939712be246f06f87b14745b3af)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\prod _{j\in J}F_{j}:\;&&\prod _{j\in J}X&&~\;\to \;~&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&\left(x_{j}\right)_{j\in J}&&~\;\mapsto \;~&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813c576bf66d5b2934aac7dd112e62b47f3f0325)
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {M}}]\;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cup )\;[{\mathcal {M}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb6d99c7591b13b5b8abd9278b24f56332dd3f7)
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {M}}]\;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;[{\mathcal {M}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fc52d39448e0ce5226cd67310e590a5eb87546)
{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)