準交換法則

数学において、準交換法則は一般交換法則の拡張または一般化です。この性質は、さまざまな定義で特定の用途に使用されます。

2つの行列 とは常に 交換法則を持つと言われます。${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$$${\displaystyle pq=qp}$$

行列の準可換性は次のように定義される^[1]。2つの非可換行列と${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ $${\displaystyle xy-yx=z}$$

が以下の性質を満たす ときはいつでも準交換法則を満たします。${\displaystyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}xz&=zx\\yz&=zy\end{aligned}}}$$

一例として、ハイゼンベルクが量子力学の一種として導入した行列力学が挙げられます。この力学では、pとqはそれぞれ粒子の運動量と位置の変数に対応する無限行列です。^{[1]これらの行列は}行列力学#調和振動子で表され、z = iħ と無限単位行列の積で表されます。ここでħは縮約されたプランク定数です。

関数は${\displaystyle f:X\times Y\to X}$準可換^[2] $${\displaystyle f\left(f\left(x,y_{1}\right),y_{2}\right)=f\left(f\left(x,y_{2}\right),y_{1}\right)\qquad {\text{ すべての }}x\in X,\;y_{1},y_{2}\in Y に対して。}$$

が で表されている場合は、次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle x\ast y}$$${\displaystyle (x\ast y)\ast y_{2}=\left(x\ast y_{2}\right)\ast y\qquad {\text{ すべての }}x\in X,\;y,y_{2}\in Y に対して。}$$

• 交換法則 – いくつかの数学演算の性質
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