集合代数における簡単な定理

集合代数の簡単な定理は、集合の和集合（中置演算子：∪）、積集合（中置演算子：∩）、および補集合（後置演算子'）の代数の基本的性質の一部です。

これらの特性は、少なくとも 2 つの集合、つまりUで示される与えられた全体集合と{} で示される空集合が存在することを前提としています。集合代数は、Uのべき集合と呼ばれP ( U )で示される Uの すべての可能な部分集合の特性を表します。P ( U )は、和集合、積集合、および補集合に関して閉じていると想定されます。集合代数はブール代数の解釈またはモデルであり、和集合、積集合、補集合、U、および {} は、それぞれブール値の和、積、補集合、1、および 0 を解釈します。

以下の特性は証明なしで述べられていますが、公理として取られた少数の特性から導き出すことができます。「*」は、ブール代数のハンチントン(1904) の古典的な公準集合の集合の解釈に従っています。これらの特性は、ベン図で視覚化できます。また、 P ( U ) がブール格子であるという事実からも導かれます。「L」が後に続く特性は、格子公理を解釈します。

初等離散数学のコースでは、集合論の主題はこれらの特性に過ぎないという印象を学生に与えることがあります。初等集合論の詳細については、集合、集合論、集合代数、素朴集合論を参照してください。より高度な集合論の入門については、公理的集合論、基数、順序数、カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理、カントールの対角線論証、カントールの第 1 非可算性証明、カントールの定理、整列定理、選択公理、およびツォルンの補題も参照してください。

以下のプロパティには、定義された二項演算、相対補数(中置演算子 "\" で表されます) が含まれます。「BにおけるAの相対補数」 ( B  \ Aで表されます) は、 ( A  ∪ B ′ ) ′およびA ′  ∩ Bとして定義されます。

命題1.任意のUとUの任意の部分集合Aについて:

• {} ′ = U ;
• ' U' ′ = {};
• A  \ {} = A ;
• {} \ A  = {};
• A  ∩ {} = {};
• A  ∪ {} = A ; *
• A  ∩ U  = A ; *
• A∪U  = U ; ​​
• A′∪A = U ; *​​
• A ′ ∩ A = {}; *
• A  \ A  = {};
• U  \ A  = A ′ ;
• A  \ U  = {};
• A ′ ′  = A ;
• A∩A  = A ; ​​
• A∪A  = Aです。 ​

命題 2.任意の集合A、B、Cについて:

• A  ∩ B  = B  ∩ A ; * L
• A  ∪ B  = B  ∪ A ; * L
• A ∪ ( A ∩ B ) = A ; L
• A ∩ ( A ∪ B ) = A ; L
• （A∪B）\ A = B \ A ;​
• A  ∩ B  = {}である場合に限り、 B  \ A  = Bとなります。
• ( A′∪B ) ′ ∪ ( A′∪B ′ ) ′ = A ;​​​​​
• ( A∩B ) ∩C  = A∩  ( B∩C ) で あり、Lで ある 。
• ( A  ∪  B ) ∪ C  = A  ∪ ( B  ∪  C ); L
• C  \ ( A  ∩  B ) = ( C  \  A ) ∪ ( C  \  B );
• C  \ ( A  ∪  B ) = ( C  \  A ) ∩ ( C  \  B );
• C  \ ( B  \  A ) = ( C  \  B ) ∪( C  ∩  A );
• （B  \  A）∩C =  （   B∩C ）\ A =  B∩ （  C \  A  ）；
• ( B  \  A ) ∪ C  = ( B  ∪  C ) \ ( A  \  C ) です。

分配法則：

•  A  ∩ ( B  ∪ C ) = ( A  ∩ B ) ∪ ( A  ∩ C ); *
•  A  ∪ ( B  ∩ C ) = ( A  ∪ B ) ∩ ( A  ∪ C )。*

命題3. ⊆のいくつかの性質:

• A  ⊆ B である場合、かつその場合に限り、 A  ∩ B  = Aである。
• A  ⊆ Bである場合に限り、A  ∪ B  = Bである。
• A  ⊆ Bであるべきであり、その場合のみB ′  ⊆ A ′である。
• A  ⊆ Bである場合、かつその場合に限り、A  \ B  = {} です。
• A  ∩ B  ⊆ A  ⊆ A  ∪ Bです。

• 集合の同一性と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式

• エドワード・ハンティントン(1904)「論理代数のための独立公準の集合」アメリカ数学会誌5: 288-309。
• Whitesitt, JE (1961)ブール代数とその応用。Addison-Wesley。ドーバー再版、1999年。