二項演算

数学において、二項演算または二項演算は、 2 つの要素(オペランドと呼ばれる)を組み合わせて別の要素を生成する規則です。より正式には、二項演算は、引数が2 つの演算です。

より具体的には、集合上の二項演算 とは、 2 つの定義域と共定義域が同じ集合である二項関数のことです。例としては、加算、減算、乗算などのよく知られた算術演算があります。その他の例は、ベクトル加算、行列乗算、群の共役など、数学のさまざまな分野で簡単に見つけることができます。

複数の集合を含むバイナリ関数は、バイナリ演算と呼ばれることもあります。たとえば、ベクトル空間のスカラー乗算では、スカラーとベクトルを使用してベクトルが生成され、スカラー積では、2 つのベクトルを使用してスカラーが生成されます。

二項演算は、代数学、特に半群、モノイド、群、環、体、ベクトル空間で研究されるほとんどの構造の要となるものです。

より正確には、集合 上の二項演算は、直積の要素を次のものに写像するものである: ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\times S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

二項演算の閉包性は、任意のオペランドのペアが与えられた場合に演算の結果が存在することを表します。^[4]

が関数ではなく部分関数である場合、 は部分二項演算と呼ばれる。例えば、実数の割り算は部分二項演算である。なぜなら、 はゼロで割ることができないためである。はすべての実数 に対して未定義である。モデル理論と古典的な普遍代数の両方において、二項演算は のすべての要素に対して定義されている必要がある。しかし、部分代数^[5]は普遍代数を一般化して部分演算を可能にする。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S\times S}$

特にコンピューター サイエンスの分野では、バイナリ関数に対してバイナリ演算という用語が使用されることがあります。

二項演算の典型的な例としては、数値と行列の加算（）と乗算（ ）や、単一集合上の関数の合成などがある。例えば、 ${\displaystyle +}$${\displaystyle \times }$

• 実数の集合では、2 つの実数の和は実数なので、 は二項演算です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f(a,b)=a+b}$
• 自然数の集合では、2 つの自然数の和は自然数なので、 は二項演算です。集合が異なるため、これは前のものとは異なる二項演算です。${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle f(a,b)=a+b}$
• 実数要素を持つ行列の集合では、そのような 2 つの行列の合計が行列であるため、 は二項演算です。${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle f(A,B)=A+B}$${\displaystyle 2\times 2}$
• 実数要素を持つ行列の集合では、そのような 2 つの行列の積は行列であるため、 は二項演算です。${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle f(A,B)=AB}$${\displaystyle 2\times 2}$
• 与えられた集合 に対して、 をすべての関数 の集合とします。によって、における2 つの関数との合成がすべての に対して定義されます。 すると、は二項演算になります。2 つの関数の合成は再び集合 上の関数(つまり のメンバー) になるからです。${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$${\displaystyle h\colon C\rightarrow C}$${\displaystyle f\colon S\times S\rightarrow S}$${\displaystyle f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$

代数と形式論理の両方で重要な多くの二項演算は、内のすべての要素およびに対して を満たす可換演算、または内のすべての要素、、および に対して を満たす結合演算です。また、多くの二項演算には単位元と逆元があります。 ${\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S}$

上記の最初の 3 つの例は交換可能であり、上記の例はすべて結合的です。

実数 の集合 において、減算、つまり は、一般に であるため、二項演算として可換ではありません。また、一般に であるため、結合法則でもありません。たとえば、ですが、 です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f(a,b)=ab}$${\displaystyle ab\neq ba}$${\displaystyle a-(bc)\neq (ab)-c}$${\displaystyle 1-(2-3)=2}$${\displaystyle (1-2)-3=-4}$

自然数 の集合上では、二項演算のべき乗 は、であるため可換ではなく(方程式 x ^y = y ^xを参照)、 であるため結合的ではありません。たとえば、、および の場合、ですが です。集合を整数 の集合に変更すると、この二項演算は部分二項演算になります。これは、 および が任意の負の整数であるときに未定義になったためです。どちらの集合でも、この演算は、集合内のすべての に対してであるため正しい恒等式( )を持ちます。これは一般に であるため恒等式(両側恒等式) ではありません。${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle f(a,b)=a^{b}}$${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$${\displaystyle f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle b=3}$${\displaystyle c=2}$${\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$${\displaystyle f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f(a,1)=a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(1,b)\neq b}$

実数または有理数の集合に対する部分二項演算である 除算( ) は、可換法でも結合法でもございません。自然数に対する二項演算であるテトレーション( ) は、可換法でも結合法でもなく、単位元も持ちません。 ${\displaystyle \div}$${\displaystyle \uparrow \uparrow }$

二項演算は、という形式の関数表記法ではなく、、、 （記号なしで並置する）などの中置表記法を使用して記述されることが多いです。べき乗も通常は演算子なしで記述されますが、2 番目の引数は上付き文字として記述されます。 ${\displaystyle a\ast b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle f(a,b)}$

二項演算は、前置記法または（より一般的には）後置記法を使用して記述されることがあります。どちらの記法でも括弧は不要です。これらはそれぞれ、ポーランド記法 および逆ポーランド記法とも呼ばれます。 ${\displaystyle \astab}$ ${\displaystyle ab\ast }$

集合に対する二項演算は、上の三項関係、つまり、すべてのおよびに対するの三つ組の集合として考えることができます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (a,b,f(a,b))}$${\displaystyle S\times S\times S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$

たとえば、線形代数におけるスカラー乗算。ここでは体であり、体上の ベクトル空間です。${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$

また、2 つのベクトルのドット積は にマッピングされます。ここで は体であり、 は上のベクトル空間です。これを二項演算と見なすかどうかは、著者によって異なります。 ${\displaystyle S\times S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$

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• フレイリー、ジョン・B. (1976)、抽象代数入門（第2版）、読書：アディソン・ウェズリー、ISBN 0-201-01984-1
• ホール、マーシャル・ジュニア（1959年）『群論』ニューヨーク：マクミラン
• ハーディ、ダレル W.;ウォーカー、キャロル L. (2002)、応用代数: コード、暗号、離散アルゴリズム、アッパーサドルリバー、ニュージャージー: プレンティスホール、ISBN 0-13-067464-8
• ロットマン、ジョセフ・J.（1973）、群論入門（第2版）、ボストン：アリン・アンド・ベーコン

• Weisstein、Eric W.「バイナリ演算」。MathWorld。