交差（集合論）

集合論において、 2つの集合の共通部分${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B,}$で示される${\displaystyle A\cap B,}$^{[ 1 ]}は、すべての要素を含む集合です。${\displaystyle A}$それらもまた${\displaystyle B}$または同等に、すべての要素${\displaystyle B}$それらもまた${\displaystyle A.}$^{[ 2 ]}集合をオペランドとする代数演算としての 交差の概念は、幾何学から一般化されており個々の点、線（無限に数えられない点の集合）、平面など点集合の場合に見られます

交差点は「${\displaystyle \cap }$項の間に「」を置きます。つまり、中置記法です。例： $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$$${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$ 2つ以上の集合の共通部分（一般化された共通部分）は、次のように表すことができます。 $$\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$これは大文字のシグマ表記 に似ています。

この記事で使用されている記号の説明については、数学記号一覧表を参照してください。

2つの集合の共通部分${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B,}$で示される${\displaystyle A\cap B}$^{[ 3 ]}は、両方の集合に属するすべてのオブジェクトの集合である。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B.}$ 記号で表すと： $${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

つまり、${\displaystyle x}$交差の要素です${\displaystyle A\cap B}$かつその場合に限り${\displaystyle x}$は、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B.}$^{[ 3 ]}

例えば：

• 集合 {1, 2, 3} と {2, 3, 4} の共通部分は {2, 3} です。
• 9は素数ではないため、素数の集合{2, 3, 5, 7, 11, ...}と奇数の集合{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}の共通部分には含まれません。
• 2本の直線のような2つの幾何学的点集合の交点は、同一平面上の異なる非平行な直線の場合、1つの点からなる単一点集合となる。

二項交差は結合法則を満たす演算です。つまり、任意の集合に対して${\displaystyle A,B,}$そして${\displaystyle C,}$1つは

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$したがって、括弧は曖昧さなく省略できます。上記のいずれも次のように書くことができます。${\displaystyle A\cap B\cap C}$交差も可換である。つまり、任意の${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B,}$1つは$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$任意の集合と空集合 の共通部分は空集合になります。つまり、任意の集合に対して、${\displaystyle A}$、 $${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$ また、交差演算は冪等です。つまり、任意の集合は${\displaystyle A}$を満たす${\displaystyle A\cap A=A}$これらの性質はすべて、論理結合に関する類似の事実から導き出されます。

共通部分は和集合に対して分配法則を持ち、和集合は共通部分に対して分配法則を持つ。つまり、任意の集合に対して${\displaystyle A,B,}$そして${\displaystyle C,}$1つは $${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$ 宇宙の内部${\displaystyle U,}$補集合を定義することができる${\displaystyle A^{c}}$の${\displaystyle A}$すべての要素の集合である${\displaystyle U}$ない${\displaystyle A.}$さらに、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は、それらの補数の和集合の補数として表すことができ、これはド・モルガンの法則から容易に導き出せる。$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

最も一般的な概念は、任意の空でない集合の共通部分です。${\displaystyle M}$は、要素自体が集合である空でない集合である。${\displaystyle x}$は、​${\displaystyle M}$すべての要素について${\displaystyle A}$の${\displaystyle M,}$${\displaystyle x}$は${\displaystyle A.}$ 記号で表すと： $${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

この最後の概念の表記法はかなり異なる場合があります。集合論者は時々「${\displaystyle \bigcap M}$」と書く人もいれば、代わりに「${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$「。後者の表記は次のように一般化できます」${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$「、これはコレクションの交差を指します」${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ ここ${\displaystyle I}$は空でない集合であり、${\displaystyle A_{i}}$すべてのセット${\displaystyle i\in I.}$

インデックスセットの場合${\displaystyle I}$は自然数の集合であり、無限積の表記法に類似した表記法が用いられる。 $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

書式設定が難しい場合は、次のように書くこともできます。${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$「。この最後の例、可算個の集合の共通部分は、実際には非常に一般的です。例については、σ代数に関する記事を参照してください。 」

前のセクションでは、次のケースを除外しました。${\displaystyle M}$空集合でした（${\displaystyle \varnothing }$) 理由は次のとおりです。コレクションの交差${\displaystyle M}$は集合として定義されます（集合構成記法を参照）。 $${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$ もし${\displaystyle M}$空です。セットはありません。${\displaystyle A}$で${\displaystyle M,}$それで問題は「どちら${\displaystyle x}$「提示された条件を満たすものは？」答えは「あらゆる可能性」のようです。${\displaystyle x}$。 いつ${\displaystyle M}$空集合の場合、上記の条件は空虚な真理の一例です。したがって、空集合の共通部分は普遍集合（共通部分の演算の単位元）であるべきですが、 ^{[ 4 ]} 標準的な（ZF）集合論では普遍集合は存在しません。

しかし、与えられた固定集合の部分集合の文脈に限定すると${\displaystyle X}$空の集合のサブセットの交差の概念${\displaystyle X}$は明確に定義されています。その場合、${\displaystyle M}$は空で、その交差は${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$すべて${\displaystyle x\in X}$空虚に要求条件を満たす、部分集合の空の集合の交差${\displaystyle X}$すべて${\displaystyle X.}$ 数式では、${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$ これは、部分集合の集合が小さくなるにつれて、それぞれの共通部分が大きくなるという直感と一致する。極端な場合、空の集合の共通部分は、基となる集合全体と等しくなる。

また、型理論では${\displaystyle x}$所定のタイプのものである${\displaystyle \tau ,}$したがって、その交差点は、${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$（要素が${\displaystyle \tau }$)、そして定義することができます${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$普遍集合である${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$（要素がすべて型 の項である集合）${\displaystyle \tau }$)

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• デブリン、KJ（1993）。集合の喜び：現代集合論の基礎（第2 版）。ニューヨーク、NY：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-94094-4。
• マンクレス、ジェームズ・R. (2000). 「集合論と論理学」トポロジー（第2 版）アッパー・サドル・リバー：プレンティス・ホール。ISBN 0-13-181629-2。
• ローゼン、ケネス（2007）。「基本構造：集合、関数、数列、和」。離散数学とその応用（第6 版）。ボストン：マグロウヒル。ISBN 978-0-07-322972-0。

• ワイススタイン、エリック W. 「交差点」 . MathWorld .