不確実性の定量化

逆不確実性定量化のアプローチとして、モジュラーベイズアプローチがある。^{[ 9 ] [ 20 ]}モジュラーベイズアプローチは、4つのモジュールからなる手順からその名が付けられている。現在利用可能なデータとは別に、未知のパラメータの事前分布を割り当てる必要がある。

モジュール1：コンピュータモデルのためのガウス過程モデリング

シミュレーション結果の不足という問題に対処するため、コンピュータモデルをガウス過程（GP）モデルに置き換える。

${\displaystyle y^{m}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }})\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{m}(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m}^{2}R^{m}(\cdot ,\cdot ){\big )}}$

どこ

${\displaystyle R^{m}{\big (}(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\theta }}),(\mathbf {x} ',{\boldsymbol {\theta }}'){\big )}=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{m}(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}\exp \left\{-\sum _{k=1}^{r}\omega _{d+k}^{m}(\theta _{k}-\theta _{k}')^{2}\right\}.}$

${\displaystyle d}$は入力変数の次元であり、${\displaystyle r}$は未知のパラメータの次元です。${\displaystyle \mathbf {h} ^{m}(\cdot )}$事前に定義されています。${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\beta }}^{m},\sigma _{m},\omega _{k}^{m},k=1,\ldots ,d+r\right\}}$GPモデルのハイパーパラメータとして知られるこれらのパラメータは、最尤推定法（MLE）を用いて推定する必要があります。このモジュールは、一般化クリギング法とみなすことができます。

モジュール2：不一致関数のガウス過程モデリング

最初のモジュールと同様に、不一致関数はGPモデルに置き換えられます。

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )\sim {\mathcal {GP}}{\big (}\mathbf {h} ^{\delta }(\cdot )^{T}{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta }^{2}R^{\delta }(\cdot ,\cdot ){\big )}}$

どこ

${\displaystyle R^{\delta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\exp \left\{-\sum _{k=1}^{d}\omega _{k}^{\delta }(x_{k}-x_{k}')^{2}\right\}.}$

未知のパラメータの事前分布と、コンピュータモデルと実験の両方からのデータを組み合わせることで、以下の最尤推定値を導出できます。${\displaystyle \left\{{\boldsymbol {\beta }}^{\delta },\sigma _{\delta },\omega _{k}^{\delta },k=1,\ldots ,d\right\}}$。 同時に、${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{m}}$モジュール1からのデータも更新されます。

モジュール3：未知パラメータの事後分布

ベイズの定理は、未知のパラメータの事後分布を計算するために適用される。

${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}},{\boldsymbol {\varphi }})\propto p({\rm {{data}\mid {\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }})p({\boldsymbol {\theta }})}}}$

どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$以前のモジュールで固定されていたすべてのハイパーパラメータが含まれます。

モジュール4：実験応答と不一致関数の予測

完全ベイズアプローチでは、未知のパラメータの事前分布だけでなく、${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$しかし、他のハイパーパラメータの事前分布も同様です。${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$割り当てられるべきである。以下の手順に従う：^{[ 21 ]}

1. 事後分布を導出する${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})}$;
2. 統合する${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$外に出て入手する${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }}\mid {\text{data}})}$この1つの手順でキャリブレーションが完了します。
3. 実験応答と差異関数の予測。

しかし、このアプローチには重大な欠点がある。

• ほとんどの場合、${\displaystyle p({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\varphi }}\mid {\text{data}})}$非常に扱いにくい関数です${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$したがって、統合は非常に面倒になります。さらに、他のハイパーパラメータの事前分布が${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$慎重に選択しないと、数値積分の複雑さはさらに増大する。
• 予測段階では、予測（少なくともシステム応答の期待値を含むべきである）には数値積分も必要となる。積分にはマルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）がよく用いられるが、計算コストが高い。

完全なベイズアプローチは膨大な量の計算を必要とし、最も複雑なモデリング状況に対処するにはまだ実用的ではない可能性がある。^{[ 21 ]}