頻度論的推論

頻度主義的推論は、頻度主義的確率論に基づく統計的推論の一種であり、「確率」を「頻度」と同義として扱い、データにおける結果の頻度または割合を強調することによって標本データから結論を導き出す。頻度主義的推論は頻度主義的統計学の基礎となっており、統計的仮説検定や信頼区間といった確立された手法は、この頻度主義的統計学に基づいている。

頻度主義は、統計が確率的な頻度を表すという前提に基づいています。この考え方は主にロナルド・フィッシャーとイェジー・ネイマン、エゴン・ピアソンのチームによって発展しました。ロナルド・フィッシャーは、仮説と比較した統計量の尺度の有意性を研究する「有意性検定」という頻度主義的な概念を開発することで、頻度主義統計学に貢献しました。

ネイマン＝ピアソンは、フィッシャーの考え方を拡張し、複数の仮説に適用できるようにした。彼らは、与えられた2つの仮説の確率の比が、それらの差を最大化することで、与えられたp値を超える確率を最大化することにつながると提唱した。この関係は、第一種過誤、第二種過誤、および信頼区間の基礎となっている。

統計的推論において、推論の対象となる統計量は${\displaystyle y\in Y}$ランダムベクトル${\displaystyle Y}$未知のパラメータの関数である。${\displaystyle \theta }$。

パラメータ${\displaystyle \theta }$は、さらに分割され、（${\displaystyle \psi ,\lambda }$）、 どこ${\displaystyle \psi }$は関心のあるパラメータであり、${\displaystyle \lambda }$は迷惑パラメータです。具体的には、${\displaystyle \psi }$母平均かもしれない、${\displaystyle \mu }$、そして迷惑パラメータ${\displaystyle \lambda }$母集団平均の標準偏差、${\displaystyle \sigma }$[ ^{1 ]​}

したがって、統計的推論はランダムベクトルの期待値に関係する。${\displaystyle Y}$、${\displaystyle E(Y)=E(Y;\theta )=\int yf_{Y}(y;\theta )dy}$。

頻度論的推論における不確実性の領域を構築するために、周囲の領域を定義するピボットが使用されます。${\displaystyle \psi }$これは不確実性を推定するための区間を提供するために使用できます。ピボットは、ピボットに対して、${\displaystyle p}$これは関数であり、${\displaystyle p(t,\psi )}$は厳密に増加している${\displaystyle \psi }$、 どこ$t ∈ T$これはランダムベクトルです。

これにより、一部の人にとって${\displaystyle 0<c<1}$定義できます${\displaystyle P\{p(T,\psi )\leq p_{c}^{*}\}}$これは、ピボット関数が何らかの明確に定義された値よりも小さい確率です。これは、${\displaystyle P\{\psi \leq q(T,c)\}=1-c}$、 どこ${\displaystyle q(t,c)}$は${\displaystyle 1-c}$上限​${\displaystyle \psi }$。

ご了承ください${\displaystyle 1-c}$ これは、片側限界を定義する結果の範囲です。${\displaystyle \psi }$そして、${\displaystyle 1-2c}$は両側制限です${\displaystyle \psi }$結果の範囲を推定したい場合${\displaystyle \psi }$発生する可能性があります。これは、統計的推論を行うことができる結果の範囲である信頼区間を厳密に定義します。

頻度論的推論における2つの補完的な概念は、フィッシャー還元とネイマン・ピアソン操作基準である。これらの概念は、頻度論的区間を構築する方法を示しており、その区間は、${\displaystyle \psi }$フィッシャー縮小法は、真の値がどの区間内にあるかを決定する方法です。${\displaystyle \psi }$嘘をつく可能性がある一方、ネイマン・ピアソンの操作的基準は、事前確率仮定を行うための決定ルールである。

フィッシャー還元法は次のように定義される。

• 尤度関数を決定する（これは通常、単にデータを収集するだけです）。
• 十分統計量に縮小する${\displaystyle S}$同じ寸法の${\displaystyle \theta }$;
• 関数を見つけてください${\displaystyle S}$分布は${\displaystyle \psi }$;
• その分布を反転させると（これにより累積分布関数またはCDFが得られます）、次の範囲が得られます。${\displaystyle \psi }$任意の確率レベルで。
• 与えられたデータの条件付き分布を使用する${\displaystyle S=s}$非公式または公式に、定式化の妥当性を評価する。^{[ 2 ]}

本質的に、フィッシャー縮小法は、十分な統計量を使用して結果の範囲を決定することができる場所を見つけるように設計されています。${\displaystyle \psi }$すべての潜在的な値を定義する確率分布上で発生する可能性があります。${\displaystyle \psi }$これは信頼区間を定式化するために必要であり、そこでは結果の範囲を見つけることができます。${\displaystyle \psi }$長期的には起こりうる可能性が高い。

ネイマン・ピアロンの操作基準は、関連する統計が、${\displaystyle \psi }$長期的には、発生すると言える。ネイマン・ピアソン運用基準は、その範囲が実際に適切であるか、または不十分であるかの可能性を定義する。ネイマン・ピアソン基準は、もし${\displaystyle \psi }$この範囲に存在する場合、真の母集団統計量よりまだ低い値になります。たとえば、フィッシャー縮小法による分布が、事前にあり得ないと考えられる閾値を超える場合、ネイマン・ピアソン縮小法によるその分布の評価を使用して、フィッシャー縮小法の分布だけを見ると不正確な結果になる可能性がある場所を推測できます。したがって、ネイマン・ピアソン縮小法は、第一種過誤と第二種過誤の確率を求めるために使用されます。^{[ 3 ]}参考までに、ベイズ統計学におけるこれの補完は、最小ベイズリスク基準です。

ネイマン・ピアソン基準は、結果の範囲を見つける能力に依存しているため、${\displaystyle \psi }$ネイマン・ピアソン法は、フィッシャー還元が達成できる場合にのみ可能である。^{[ 4 ]}

頻度主義的推論は、実験計画と解釈への頻度主義的確率の適用、特に、任意の実験は、それぞれが統計的に独立した結果を生み出すことができる、同じ実験の可能な無限の繰り返しの1つとみなすことができるという見解に関連しています。^{[ 5 ]}この見解では、データから結論を導き出すための頻度主義的推論アプローチは、実質的に、この概念的な繰り返しの集合の中で、正しい結論が特定の（高い）確率で導き出されることを要求します。

しかし、全く同じ手順を微妙に異なる定式化の下で開発することも可能です。これは、実験前の観点を取るものです。実験計画には、実験を行う前に、まだ得られていないデータから結論を導き出すために具体的にどのような手順を踏むかを決定することが含まれるべきだと主張できます。科学者はこれらの手順を具体的に指定することで、正しい決定に至る確率を高くすることができます。この場合、確率はまだ発生していない一連のランダムな事象に関連するものであり、確率の頻度解釈に依存しません。この定式化は、Neyman ^{[ 6 ]}らによって議論されています。これは、頻度論的検定の有意性がモデル選択によって変化する可能性があり、尤度原理に違反するため、特に重要です。

頻度主義とは、ある一定期間にわたって、あるいは繰り返しサンプリングを行った際に、結果が一定の頻度で発生するという仮定に基づいて確率を研究する学問である。そのため、頻度主義的分析は、頻度主義が分析しようとする問題の仮定を考慮して策定されなければならない。これは、問題が統計量の多様性を理解することに関するものなのか、それとも統計量の真の値を求めることに関するものなのかを検討する必要があることを意味する。これらの仮定の違いは、仮説検定を解釈する上で極めて重要である。

統計的推論には大きく分けて認識論的アプローチと疫学的アプローチの2つの陣営がある。認識論的アプローチは変動性の研究であり、すなわち、統計量が観測値からどのくらいの頻度で逸脱すると予想されるかという点である。疫学的アプローチは不確実性の研究に関わるものであり、このアプローチでは統計量の値は固定されているが、その統計量に対する我々の理解は不完全である。^{[ 7 ]}具体的に、株式市場の相場を測定することと資産価格を評価することを想像してみよう。株式市場は非常に大きく変動するため、株価がどこになるかを正確に把握しようとすることは役に立たない。株式市場は、その気まぐれな動きを定量化できる認識論的アプローチを用いて理解する方がよい。逆に、資産価格は日々それほど大きく変化しないかもしれない。価格の範囲を見つけるよりも、資産の真の価値を見つける方が良いので、疫学的アプローチの方が適している。これらのアプローチの違いは、推論の目的においては些細なことではない。

認識論的アプローチでは、仮説に確率を割り当てたいかのように問題を定式化します。これはベイズ統計でのみ可能であり、ベイズ統計はサンプル空間全体に条件付けられるため、確率の解釈は簡単です。一方、頻度主義的検定は実験計画全体に関係します。頻度主義的統計は、データだけでなく実験計画にも条件付けられます。^{[ 8 ]}頻度主義的統計では、頻度発生を理解するためのカットオフは、実験計画で使用されるファミリー分布から導き出されます。たとえば、二項分布と負の二項分布はまったく同じデータを分析するために使用できますが、裾野が異なるため、頻度主義的分析では、異なる確率分布を仮定する同じデータに対して異なるレベルの統計的有意性を実現します。この違いはベイズ推論では発生しません。詳細については、頻度主義的統計が本質的に違反する尤度原理を参照してください。^{[ 9 ]}

疫学的アプローチでは、頻度主義統計学の背後にある中心的な考え方について議論する必要があります。頻度主義統計学は、長期的には統計量の頻度が理解でき、長期的には統計量の真の平均値の範囲を推測できるように設計されています。これは、上で説明したフィッシャーの縮小とネイマン・ピアソンの操作的基準につながります。任意の統計量に対してフィッシャーの縮小とネイマン・ピアソンの操作的基準を定義すると、これらの著者によると、サンプリング方法を何回繰り返すと仮定して、統計量の真の値が特定の結果の範囲内で発生する可能性を評価します。^{[ 8 ]}これにより、長期的には、複数の頻度主義的推論の結合結果が、95%信頼区間が文字通り真の平均値が95%の確率で信頼区間内にあることを意味するが、平均値が95%の確実性で特定の信頼区間内にあることを意味するわけではないと定義できる推論が可能になります。これはよくある誤解です。

認識論的見解と疫学的見解は、相互に変換可能であると誤って考えられていることが非常に多い。まず、認識論的見解は、帰無仮説に対する帰納的証拠を提供するように設計されたフィッシャーの有意性検定を中心としている。${\displaystyle H_{0}}$単一の実験で、フィッシャーのp値によって定義されます。逆に、ネイマン・ピアソン仮説検定で実施される疫学的見解は、長期的に有効な誤差最小化を提供することで、長期的にタイプIIの偽受容エラーを最小限に抑えるように設計されています。この2つの違いは重要です。認識論的見解は、ある値が統計的に有意である可能性がある条件を強調するのに対し、疫学的見解は、長期的な結果が有効な結果を示す条件を定義します。これらは極めて異なる推論です。なぜなら、一度限りの認識論的結論は長期的なエラーを知らせず、長期的なエラーは、一度限りの実験が意味があるかどうかを証明するために使用できないからです。一度限りの実験を長期的な出来事とみなすのは誤った帰属であり、長期的な傾向を個々の実験とみなすのは生態学的誤謬の一例です。^{[ 10 ]}

頻度論的推論は、ベイズ推論やフィデューシャル推論といった他の統計的推論とは対照的である。「ベイズ推論」は、最適な意思決定につながる推論手法を含む場合もあるが、ここでは簡潔にするために、より限定的な見解を採用する。

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