無関心の原理

無関心の原理（不十分な理由の原理とも呼ばれる）は、認識確率を割り当てるための規則である。無関心の原理は、関連する証拠がない場合、エージェントは検討中のすべての可能な結果に信頼度（または「信念の度合い」）を均等に分配すべきであると述べている。^{[ 1 ]}これは、節約の原理の適用であり、最大エントロピーの原理の特殊なケースと見なすことができる。ベイズ確率では、これは最も単純な非情報事前分布である。

無差別原理の適用例として教科書によく挙げられるのは、硬貨、サイコロ、トランプである。

トランプの例は、他の例よりも、無差別原理を実際の状況に適用することの難しさをよく表しています。「任意に並べられている」という表現で本当に意味するのは、特定のカードを優先するような情報が全くないということです。しかし、実際にはこのような状況はめったにありません。新しいトランプのデッキは確かに任意に並べられているわけではありませんし、手札を取った直後のデッキも同様です。そのため、実際にはカードをシャッフルします。シャッフルによって情報が失われるわけではなく、むしろ（願わくば）原理的には依然として利用可能な情報ではあるものの、実質的には利用不可能になります。実際、熟練したブラックジャックプレイヤーの中には、デッキ全体を通してエースを追跡できる人もいます。そのようなプレイヤーにとっては、無差別原理を適用するための条件は満たされていません。

少なくとも巨視的なシステムにおいては、そのシステムを支配する物理法則は結果を予測できるほど十分に知られていないと想定しなければならない。数世紀前にジョン・アーバスノットが指摘したように（ 『偶然の法則について』の序文、1692年）、

サイコロが、これほど明確な力と方向で振られた場合、決まった面に落ちないということはあり得ない。ただ、なぜ決まった面に落ちるのか、その力と方向が分からないため、私はそれを偶然と呼ぶ。それは技術の欠如に他ならない。

因果的決定論の原理の下では、十分な時間と資源があれば、コイン、サイコロ、カードの結果を高精度で予測できるほど適切な精度の測定ができないと考える根本的な理由はない。パーシー・ディアコニスのコイン投げ機に関する研究は、その実例である。^{[ 2 ]}

無関心の原理を誤って適用すると、特に多変量連続変数の場合、意味不明な結果につながりやすい。誤用の典型的な例を以下に示す。

• 箱の中に立方体が隠されているとします。箱のラベルには、立方体の一辺の長さが3cmから5cmの間であると書かれています 。
• 実際の辺の長さは不明ですが、すべての値が等しく起こりうると仮定し、単純に中間値の4cmを選択することにします 。
• ラベルの情報から、立方体の表面積は54～150cm²の間であることが計算できます 。実際の表面積はわかりませんが、すべての値が等しい確率で発生すると仮定して、中間値の^102cm² を選択することもでき^ます。
• ラベルの情報から、立方体の体積は27～125cm³の間であることが計算できます 。^実際 の体積はわかりませんが、すべての値が等しい確率で発生すると仮定して、中間値の76cm³^を選択することもできます。
• ^{しかし、私たちは今、}立方体の辺の長さが4cm  、表面積が102cm²  、体積が76cm³^であるというあり得ない結論に達してしまいました！ 

この例では、立方体の長さ、表面積、体積について互いに矛盾する推定値が生じますが、これはこれらのパラメータに対して互いに矛盾する3つの分布を仮定しているためです。つまり、いずれかの変数に対して一様分布を仮定すると、他の2つの変数に対しては非一様分布となります。一般に、無差別原理は、どの変数（この場合は長さ、表面積、体積）が一様認識確率分布を持つべきかを示しません。

この種の誤用のもう一つの典型的な例は、ベルトランのパラドックスです。エドウィン・T・ジェインズは変換群の原理を導入し、この問題に対する認識論的確率分布を導き出しました。これは、命題間ではなく、同等の問題間で無関心であると言うことで、無関心の原理を一般化したものです。ラベルの順列が同等の問題を生成すると考える場合（つまり、順列変換群を使用する場合）、これは依然として通常の無関心の原理に帰着します。これを上記の箱の例に適用すると、幾何学的方程式で関連付けられた3つの確率変数があります。ある3つの値を別の値よりも優先する理由がない場合、事前確率は連続分布における変数変換の規則によって関連付けられなければなりません。長さをL、体積をVとします。すると、次のようになります。

${\displaystyle f_{L}(L)=\left|{\partial V \over \partial L}\right|f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})}$、

どこ${\displaystyle f_{L},\,f_{V}}$これらは、指定された変数の確率密度関数（pdf）です。この方程式には一般解があります。${\displaystyle f(L)={K \over L}}$ここで、Kは正規化定数であり、 Lの範囲によって決定され、この場合は次のようになる。

${\displaystyle K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\right)}$

これを「検証」するために、長さが4未満である確率を求めます。その確率は次のようになります。

${\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$。

^{体積の場合、これは体積が 4 3} = 64未満である確率に等しくなります。体積の pdf は

${\displaystyle f(V^{1 \over 3}){1 \over 3}V^{-{2 \over 3}}={1 \over 3V\log({5 \over 3})}}$。

そして、体積が64未満になる確率は

${\displaystyle Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$。

このようにして、体積と長さに関して不変性を達成しました。表面積が6(4²) = 96未満であることに関しても同様の不変性を示すことができます^。ただし、この確率割り当ては必ずしも「正しい」ものではないことに注意してください。長さ、体積、または表面積の正確な分布は、「実験」の実施方法によって異なります。

統計物理学の基本的な仮説、すなわち、平衡状態において全エネルギーが同じである系の任意の2つのミクロ状態は等しい確率で発生するという仮説は、ある意味で無差別原理の一例である。しかし、ミクロ状態が連続変数（位置や運動量など）で記述される場合、確率密度が一様となるパラメータ化を説明するために、追加の物理的根拠が必要となる。リウヴィルの定理は、位置とその共役運動量といった正準共役変数の使用を正当化する。

ワインと水のパラドックスは、関連する変数と、どちらを選ぶべきかというジレンマを示している。

この原理は、エピクロスの「複数の説明」（pleonachos tropos）の原理^{[ 3 ]}に由来し、 「複数の理論がデータと矛盾しない場合は、それらすべてを採用すべきである」というものである。エピクロス派のルクレティウスは、死体の複数の死因のアナロジーを用いてこの点を発展させた^{[ 4 ]} 。確率論の初期の著述家、主にヤコブ・ベルヌーイとピエール＝シモン・ラプラスは、無関心の原理を直感的に自明なものと考え、名前を付けることさえしなかった。ラプラスは次のように書いている。

確率論は、同種の事象すべてを、等しく起こりうる一定数の事象、すなわち、その存在について等しく不確実な事象に絞り込み、確率を求めたい事象にとって有利な事象の数を決定することにある。この数と起こりうるすべての事象の数の比が確率の尺度であり、したがって、分子が有利な事象の数、分母が起こりうるすべての事象の数である分数となる。

これらの初期の著述家、特にラプラスは、無関心の原理を連続パラメータの場合に素朴に一般化し、いわゆる「一様事前確率分布」、つまりすべての実数に対して一定の関数を与えた。彼はこの関数を使って、パラメータの値に関する知識が全くないことを表現した。スティグラー（135ページ）によれば、ラプラスの一様事前確率の仮定は形而上学的な仮定ではなかった。^{[ 5 ]}それは分析を容易にするために暗黙のうちに行われた仮定であった。

不十分な理由の原理は、ヨハネス・フォン・クリース[ ^{6 ]}によって最初に名付けられたもので、おそらくライプニッツの十分な理由の原理をもじったものと^思われる。これらの後世の著述家（ジョージ・ブール、ジョン・ヴェンなど）は、一様事前分布の使用に2つの理由で反対した。1つ目の理由は、定数関数は正規化できないため、適切な確率分布ではないということである。2つ目の理由は、前述のように、連続変数には適用できないということである。

「不十分な理由の原理」は、ジョン・メイナード・ケインズ（1921年）^{[ 7 ]}によって「無差別の原理」と改名されたが、彼は、この原理は不均等な確率を示す知識がない場合にのみ適用されると注意深く指摘した。 

この概念をより確固たる哲学的基盤の上に置こうとする試みは、一般的に等可能性の概念から始まり、そこから等確率へと発展してきた。

無関心の原理は、同等の知識状態には同等の認識確率が割り当てられるべきであるという点に注目することで、より深い論理的正当化を与えることができる。この議論はエドウィン・トンプソン・ジェインズによって提唱されたもので、ジェフリーズ事前分布における変換群の原理と最大エントロピーの原理という2つの一般化につながる。^{[ 8 ]}

• ベイズ認識論
• 臨床的均衡
• 継承法則：観測数が少ない場合、または（有限）標本データにおいて全く観測されていない事象について、基礎となる確率を推定するための公式。