オイラー置換

オイラー置換は、次の形式の積分を評価する方法である。

$${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx,}$$

ここで はおよびの有理関数である。このような場合、積分関数はオイラーの置換法を使って有理関数に変えることが可能である。^[1]${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$

オイラーの最初の代入は、 のときに使用されます。 得られた式を に代入して解きます。 となり、項はで有理的に表現可能であることがわかります。 ${\displaystyle a>0}$$${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle t}$

この置換では、正の符号または負の符号のいずれかを選択できます。

ならば、 上と同様 に解くと、${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}$$

ここでも、正負の符号のいずれかを選択できます。

多項式が実根を持ち、である場合、 を選択できます 。これにより となり 、前の場合と同様に、被積分関数全体を で有理的に表現できます。 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}$${\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}},}$${\displaystyle t}$

積分では、最初の置換を使用して と設定できるため、 次の式が得られます。 ${\displaystyle \int \!{\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}}$${\textstyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$$${\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \ dx={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\ dt}$$ $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}$$$${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\ dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C}$$

事例から式がわかる ${\displaystyle c=\pm 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} (x)+C\\[6pt]\int {\frac {\ dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} (x)+C\qquad (x>1)\end{aligned}}}$$

の値を求めるには、 オイラーの最初の代入法を使って を 求める。この式の両辺を二乗すると となり、この項は打ち消される。 を解くと が得られる。 $${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}dx,}$$${\displaystyle t}$${\textstyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t}$${\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}$$

そこから、微分とは次の関係にあることが わかります。${\displaystyle dx}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt.}$

したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}&=\int {\frac {\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}{\left({\frac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}dt&&t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x\\[6pt]&=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{2}}\right)+C\\[6pt]&=\tan ^{-1}\left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C\end{aligned}}}$$

積分では 2番目の置換を使って と設定することができます。したがって 、 $${\displaystyle \int \!{\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}},}$$${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}\qquad dx={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}dt,}$$$${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}={\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}t+{\sqrt {2}}={\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}$$

したがって、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{(t^{2}+1)^{2}}}{{\frac {1-2{\sqrt {2}}t}{t^{2}+1}}{\frac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}}}dt\\[6pt]&=\int \!{\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}dt\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\[4pt]&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {{\sqrt {-x^{2}+x+2}}-{\sqrt {2}}}{x}}-1\right|+C\end{aligned}}}$$

評価するには、 3番目の置換を使用して設定します。したがって 、 $${\displaystyle \int \!{\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx,}$$${\textstyle {\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t}$$${\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\qquad \ dx={\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}\,\ dt,}$$$${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}=(x-2)t={\frac {t}{-t^{2}-1.}}}$$

次に、 これは部分分数を使用して解くことができる有理関数であることがわかります。 $${\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}\ dx=\int {\frac {\left({\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}{\frac {2t}{(-t^{2}-1)^{2}}}}{\frac {t}{-t^{2}-1}}}\ dt=\int {\frac {2(-2t^{2}-1)^{2}}{(-t^{2}-1)^{3}}}\ dt.}$$

オイラーの置換法は、虚数の使用を許可することで一般化できます。たとえば、積分 では、置換法を使用できます。複素数への拡張により、二次方程式の係数に関係なく、あらゆる種類のオイラー置換法を使用できます。 ${\textstyle \int {\frac {dx}{\sqrt {-x^{2}+c}}}}$${\textstyle {\sqrt {-x^{2}+c}}=\pm ix+t}$

オイラーの置換は、より大きなクラスの関数に一般化できます。 の形式の積分を考えます 。 ここで、 と は、およびの有理関数です。この積分は、 の置換によって別の積分に 変換できます。 ここで、 と は、単に の有理関数になります。原理的には、因数分解と部分分数分解を使用して、積分を単純な項に分解し、二重対数関数を使用して解析的に積分することができます。^[2]$${\displaystyle \int R_{1}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\,\log \left(R_{2}\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)\right)\,dx,}$$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$${\textstyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}+xt}$$${\displaystyle \int {\tilde {R}}_{1}(t)\log {\big (}{\tilde {R}}_{2}(t){\big )}\,dt,}$$${\displaystyle {\tilde {R}}_{1}(t)}$${\displaystyle {\tilde {R}}_{2}(t)}$${\displaystyle t}$

• 置換による積分
• 三角関数の置換
• ワイエルシュトラス置換

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