σ有限測度

数学において、集合X上の正または符号付き 測度μ は、X が有限測度μ ( A _n ) < ∞ の測定可能な集合の列A ₁、A ₂、A ₃、…の和集合に等しい場合、 σ 有限であると呼ばれます。同様に、 Xの部分集合がそのような可算和集合に等しい場合、σ 有限であると呼ばれます。測度が σ 有限であることは、有限であることよりも弱い条件です(つまり、μ ( X ) < ∞ よりも弱い)。

σ 有限性と混同してはならない、異なるが関連する概念はs 有限性です。

測定可能な空間とその上の測度があるとします。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle \mu}$

次の 4 つの同等の基準のいずれかを満たす場合、その測度はσ 有限測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu}$

1. 集合は、有限測度を持つ可測集合の多くとも可算個で覆われる。これは、を満たすすべての集合が存在することを意味する。^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mu \left(A_{n}\right)<\infty }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$
2. 集合は、最大で可算個の有限測度を持つ測定可能な互いに素な集合で覆われます。これは、すべてに対して、に対してとなり、を満たす集合が存在することを意味します。${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mu \left(B_{n}\right)<\infty }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X}$
3. 集合は、有限測度を持つ可測集合の単調な列で覆うことができる。これは、を満たすすべての に対して、 および を持つ集合が存在することを意味する。${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots }$${\displaystyle \mu \left(C_{n}\right)<\infty }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X}$
4. 積分が有限であるような厳密に正の測定可能な関数が 存在する。 ^[2]これはすべてのおよびに対して成り立つことを意味する。${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)>0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$

が有限測度である場合、測度空間は有限測度空間と呼ばれる。^[3]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle \sigma }$

たとえば、実数上のルベーグ測度は有限ではありませんが、σ 有限です。実際、すべての整数kについて区間[ k ,  k  + 1)を考えてみましょう。このような区間は可算なほど多く存在し、それぞれが測度 1 を持ち、それらの和集合が実数直線全体になります。

あるいは、計数測度を持つ実数を考えてみましょう。任意の有限集合の測度は集合内の要素の数であり、任意の無限集合の測度は無限大です。この測度はσ有限ではありません。なぜなら、有限測度を持つすべての集合には有限個の点しか含まれず、実数全体をカバーするにはそのような集合が無数に必要になるからです。しかし、計数測度を持つ自然数の集合はσ有限 です。${\displaystyle \mathbb {N} }$

σ-コンパクトな局所コンパクト群は、ハール測度の下でσ-有限である。例えば、連結な局所コンパクト群Gはすべてσ-コンパクトである。これを確かめるために、Vを相対的にコンパクトで対称な（つまりV  =  V ⁻¹）恒等群の開近傍としよう。すると、

${\displaystyle H=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V^{n}}$

はGの開部分群である。したがって、Hも閉じている。なぜなら、その補集合は開集合の和集合であり、Gの連結性により、 H はG自身でなければならないからである。したがって、連結リー群はすべてハール測度の下で σ 有限である。

0 と の 2 つの値のみを取る非自明な測度は、明らかに σ 有限ではありません。 の 1 つの例は次のとおりです。 すべて に対して、A が空でない場合かつその場合に限ります。もう 1 つは次のとおりです。 すべて に対して、A が非可算の場合かつその場合に限り、そうでない場合は 0 です。ちなみに、どちらも並進不変です。 ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu (A)=\infty }$${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu (A)=\infty }$

σ 有限測度のクラスには、非常に便利な特性がいくつかあります。この点で、σ 有限性は位相空間の可分性と比較できます。解析学におけるいくつかの定理は、σ 有限性を仮定として必要とします。通常、ラドン・ニコディムの定理とフビニの定理は、関係する測度が σ 有限であるという仮定の下で述べられます。しかし、アーヴィング・シーガル^[4]が示し​​たように、それらはより弱い条件、つまり局所化可能性のみを必要とします。

σ有限でない測度は病的であると見なされることもありますが、実際にはごく自然に発生します。たとえば、X がハウスドルフ次元rの距離空間である場合、 X上の測度として考えれば、すべての低次元ハウスドルフ測度は σ 有限ではありません。

空間X上の任意のσ有限測度μは、X上の確率測度と同値である。V n _, n  ∈  Nを有限μ測度の互いに素な可測集合によるXの被覆とし、w _n , n  ∈  Nを次の正の数（重み）の列とする。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}$

νは次のように定義される 。

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}}$

は、 μと まったく同じヌルセットを持つX上の確率測度になります。

ボレル測度（ボレル代数^[5]上の局所有限測度の意味で）は、すべてのおよびに対してとなる開集合が最大で可算個存在する場合に限り、中程度の測度と呼ばれる。^[6]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=X}$

すべての中程度の測度は-有限の測度ですが、その逆は真ではありません。 ${\displaystyle \sigma }$

測度は分解測度と呼ばれ、すべてのおよびに対してとなる互いに素な可測集合が存在します。分解測度の場合、有限測度となる可測集合の数に制限はありません。 ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$

すべての- 有限測度は分解可能な測度ですが、その逆は真ではありません。 ${\displaystyle \sigma }$

ある測度が、せいぜい可算個数の有限測度の和である場合、その測度はs有限測度と呼ばれる。^[2]${\displaystyle \mu }$

すべての σ 有限測度は s 有限であり、その逆は真ではありません。証明と反例については、σ 有限測度との関係を参照してください。

• 有限の測定
• シグマ加法性