長さ関数

数学の分野である幾何群論において、長さ関数は群の各要素に数値を割り当てる関数です。

群G上の長さ関数 L :  G  →  R  +^は次を満たす関数である: ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{aligned}}}$

メトリックとフィルタ代数の公理と比較します。

長さの重要な例としては、単語 metricがあります。生成元と関係によってグループが表現されている場合、要素の長さは、それを表現する最短の単語の長さになります。

コクセター群（対称群を含む）は、単純な反射を生成元として使用する組み合わせの重要な長さ関数を持ちます（したがって、各単純な反射の長さは 1 です）。ワイル群の元の長さも参照してください。

コクセター群の最長要素は、共役（単純な反射の異なる選択）まで重要かつ一意です。

長さ関数を持つグループはフィルタリングされたグループを形成しません。つまり、サブレベルセットは一般に サブグループを形成しません。 ${\displaystyle S_{i}:=\{g\mid L(g)\leq i\}}$

しかし、長さ関数を持つ群の群代数はフィルタリング代数を形成します。公理はフィルタリング公理に対応します。 ${\displaystyle L(gh)\leq L(g)+L(h)}$

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