グレードリング

数学、特に抽象代数学において、次数付き環とは、基礎となる加法群がアーベル群の直和となるような環のことである。${\displaystyle R_{i}}$そのため、${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$インデックス集合は通常、非負整数の集合または整数の集合ですが、任意のモノイドでも構いません。直接和分解は通常、段階分けまたは段階付けと呼ばれます。

次数付きモジュールも同様に定義されます（正確な定義については下記を参照）。これは次数付きベクトル空間を一般化したものです。次数付きモジュールであり、かつ次数付き環でもあるものは、次数付き代数と呼ばれます。次数付き環は次数付き ⁠ と見なすこともできます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ -代数。

次数付き環の定義において結合性は重要ではなく（実際には全く使用されない）、したがって、この概念は非結合代数にも適用されます。たとえば、次数付きリー代数を考えることができます。

一般に、次数付き環の添え字集合は、特に明記しない限り、非負整数の集合であるとみなされる。本稿でも同様の原則を採用する。

次数付き環とは、直和に分解できる環のことである。

${\displaystyle R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }R_{n}=R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots }$

付加的なグループから 、

${\displaystyle R_{m}R_{n}\subseteq R_{m+n}}$

すべての非負整数に対して${\displaystyle m}$そして​${\displaystyle n}$⁠ .

ゼロでない要素${\displaystyle R_{n}}$次数が同質であると言われている${\displaystyle n}$直和の定義により、すべての非ゼロ要素は${\displaystyle a}$の${\displaystyle R}$和として一意に表すことができる${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$それぞれ${\displaystyle a_{i}}$0 または次数が同次である${\displaystyle i}$非ゼロ${\displaystyle a_{i}}$は、の均質な構成要素です。 ${\displaystyle a}$⁠ .

基本的な特性としては、以下のようなものがあります。

• ${\displaystyle R_{0}}$はの部分環です${\displaystyle R}$特に、乗法的な恒等式${\displaystyle 1}$は次数0の同次要素である。
• いかなる場合でも${\displaystyle n}$、${\displaystyle R_{n}}$両面​${\displaystyle R_{0}}$⁠ -モジュール、そして直和分解は直和です⁠${\displaystyle R_{0}}$⁠ -モジュール。
• ${\displaystyle R}$連想的である${\displaystyle R_{0}}$⁠ -代数。

• 任意の（次数なし）環R は、次のようにして次数付けすることができる。${\displaystyle R_{0}=R}$⁠、そして${\displaystyle R_{i}=0}$i ≠ 0の場合。これはR上の自明な段階付けと呼ばれます。 
• 多項式環${\displaystyle R=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$は、次の度数によって等級付けされます。${\displaystyle R_{i}}$次数iの同次多項式から構成される。
• 次数付き整数領域R内のすべての非ゼロ同次要素の集合をSとする。このとき、Sに関するRの局所化は、${\displaystyle \mathbb {Z} }$等級付きリング。
• Iが可換環Rのイデアルである場合、${\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$は、 Iに沿ったRの関連次数環と呼ばれる次数環です。幾何学的には、 Iによって定義される部分多様体に沿った正規円錐の座標環です。
• X を位相空間とし、H ⁱ ( X ; R ) を環Rの係数を持つi番目のコホモロジー群とする。このとき、Rの係数を持つXのコホモロジー環H ^* ( X ; R )は、基礎群が次のようになる次数付き環である。${\textstyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X;R)}$カップ積によって与えられる乗法構造を持つ。

加群理論における対応する概念は、次数付き加群、すなわち次数付き環R上の左加群Mであり、

${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},}$

そして

${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$

すべてのiとjについて。

例：

• 次数付きベクトル空間は、体上の次数付き加群の一例である（ただし、その体は自明な次数を持つ）。
• 次数付き環は、それ自身上の次数付き加群である。次数付き環のイデアルは、それが次数付き部分加群である場合に限り、同次イデアルである。次数付き加群の零化イデアルは同次イデアルである。
• 可換環RのイデアルIとR加群Mが与えられたとき、直和${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}M/I^{n+1}M}$関連する等級リング上の等級モジュールです${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$。

射​${\displaystyle f:N\to M}$次数付きモジュールの次数付き射または次数付き準同型とは、次数を尊重した基礎となるモジュールの準同型です。つまり、${\displaystyle f(N_{i})\subseteq M_{i}}$⁠。次数付き部分加群とは、それ自体が次数付き加群であり、かつ集合論的な包含関係が次数付き加群の射となるような部分加群のことである。具体的には、次数付き加群NがMの次数付き部分加群であるのは、それがMの部分加群であり、かつ次の条件を満たす場合に限る。 ⁠${\displaystyle N_{i}=N\cap M_{i}}$⁠。次数付き加群の射の核と像は次数付き部分加群である。

注記：次数付き環から別の次数付き環へ、像が中心にある次数付き射を与えることは、後者の環に次数付き代数の構造を与えることと同じである。

成績評価対象のモジュールが与えられた場合${\displaystyle M}$、${\displaystyle \ell }$-ツイスト${\displaystyle M}$は、以下のように定義される評価対象モジュールです。${\displaystyle M(\ell )_{n}=M_{n+\ell }}$（代数幾何学におけるセールのねじれ層を参照）。

MとNを評価対象モジュールとする。${\displaystyle f\colon M\to N}$fがモジュールの射である場合、fの次数はdであるとは、${\displaystyle f(M_{n})\subseteq N_{n+d}}$微分幾何学における微分形式の外微分は、次数が 1 の射の一例である。

可換次数環R上の次数付き加群Mが与えられたとき、形式的冪級数を関連付けることができる。${\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]}$⁠ :

${\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}$

（仮定すると）${\displaystyle \ell (M_{n})}$（有限である。）これはMのヒルベルト・ポアンカレ級数と呼ばれる。

次数付き加群は、基礎となる加群が有限生成である場合に有限生成であると言われる。生成元は同次であるとみなすことができる（生成元を同次部分で置き換えることによって）。

Rを多項式環 とする。${\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]}$⁠、 k は体、 M はその体上の有限生成次数付き加群である。すると関数は${\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}}$これはMのヒルベルト関数と呼ばれます。この関数は、nが大きい場合、 Mのヒルベルト多項式と呼ばれる整数値の多項式と一致します。

環R上の結合代数Aは、環として次数付けされている場合、次数付き代数と呼ばれる。

環Rが次数付けされていない通常のケース (特にRが体の場合) では、自明な次数付け ( Rのすべての要素の次数は 0 ) が与えられます。したがって、${\displaystyle R\subseteq A_{0}}$そして等級分けされたピース${\displaystyle A_{i}}$これらはRモジュールです。

環Rが次数付き環でもある場合、次のことが必要となる。

${\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}}$

言い換えれば、AはR上の次数付き左加群である必要がある。

数学では、段階代数の例はよく見られる。

• 多項式環。次数nの同次元は、次数nの同次多項式と全く同じである。
• テンソル代数${\displaystyle T^{\bullet }V}$ベクトル空間Vの。次数nの同次要素は、次数nのテンソルである。${\displaystyle T^{n}V}$⁠ .
• 外代数${\displaystyle \textstyle \bigwedge \nolimits ^{\bullet }V}$そして対称代数${\displaystyle S^{\bullet }V}$それらもまた、段階付けされた代数である。
• コホモロジー環${\displaystyle H^{\bullet }}$あらゆるコホモロジー理論において、は次数付きであり、コホモロジー群の直和である。${\displaystyle H^{n}}$⁠ .

次数付き代数は、可換代数、代数幾何学、ホモロジー代数、代数トポロジーにおいて広く用いられています。その一例として、同次多項式と射影多様体との密接な関係が挙げられます（同次座標環を参照）。

非可換な次数付き代数のもう1つの例は、自然な次数を持つリービットパス代数である。${\displaystyle \mathbb {Z} }$採点。

上記の定義は、任意のモノイドG をインデックス集合として用いて次数付けされた環に一般化されている。G次数付けされた環Rは、直和分解を持つ環である。

${\displaystyle R=\bigoplus _{i\in G}R_{i}}$

そのため

${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i\cdot j}.}$

Rの要素のうち、内部に存在するもの${\displaystyle R_{i}}$一部の人にとって${\displaystyle i\in G}$等級iの均質性を持つと言われている。

以前に定義された「グレードリング」の概念は、${\displaystyle \mathbb {N} }$- 段階リング、${\displaystyle \mathbb {N} }$は、加法に関する自然数のモノイドである。次数付きモジュールと代数の定義も、インデックス集合を置き換えることでこのように拡張できる。${\displaystyle \mathbb {N} }$任意のモノイドGに対して。

備考：

• 環が単位元を持つ必要がない場合、モノイドの代わりに半群を用いることができる。

例：

• 群は自然に対応する群環の次数を決定する。同様に、モノイド環は対応するモノイドによって次数を決定する。
• （結合的な）超代数は、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$次数付き代数。例としてはクリフォード代数がある。ここでは同次要素は次数が0（偶数）または1（奇数）のいずれかである。

直感的に言えば、次数付きモノイドは次数付き環の部分集合であり、${\textstyle \bigoplus _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$によって生成された${\displaystyle R_{n}}$加法部分を用いずに、 の 。つまり、次数付きモノイドの要素の集合は${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} _{0}}R_{n}}$。

形式的には、次数付きモノイド^{[ 1 ]}はモノイドである。${\displaystyle (M,\cdot )}$グラデーション機能付き${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {N} _{0}}$そのため${\displaystyle \phi (m\cdot m')=\phi (m)+\phi (m')}$。 グラデーションに注意してください。${\displaystyle 1_{M}}$は必然的に0である。一部の著者はさらに、${\displaystyle \phi (m)\neq 0}$mが恒等関数でない 場合。

非同一要素の段階がゼロでないと仮定すると、段階nの要素の数は最大で${\displaystyle g^{n}}$ここで、 gはモノイドの生成集合Gの濃度である。したがって、 n以下の段階の要素の数は最大で${\displaystyle n+1}$（のために${\displaystyle g=1}$） または${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$それ以外の場合。実際、そのような各要素は、 Gのn個の要素の積であり、${\textstyle {\frac {g^{n+1}-1}{g-1}}}$そのような積は存在する。同様に、単位元は2つの非単位元の積として表すことはできない。つまり、そのような次数付きモノイドには単位因子は存在しない。

• 関連グレードリング
• 微分段階代数
• フィルター代数、一般化
• 採点済み（数学）
• 等級分けされたカテゴリー
• 段階的ベクトル空間
• テンソル代数
• 段階別評価モジュール