段階的構造

数学において、「段階的」という用語にはいくつかの意味があり、主に次のような意味があります。

抽象代数学では、一連の概念を指します。

• 代数構造は、それが 段階または次数付け、つまり構造の直和への分解を持つ場合、インデックス セットに対して-次数付きであると言われます。の要素は「次数iの同次」であると言われます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle X=\bigoplus _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$
  • インデックス セットは、または であることが最も一般的ですが、 のタイプに応じて追加の構造が必要になる場合があります。${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle X}$
  • (つまり)によるグレーディングも重要です。たとえば、符号付きセット( -グレーディング セット) を参照してください。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
  • 自明な( - または-) グラデーションはに対して を持ち、適切な自明な構造 を持ちます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle X_{0}=X,X_{i}=0}$${\displaystyle i\neq 0}$${\displaystyle 0}$
  • 代数構造は、インデックス セットがセットの直積である場合、二重に次数付けされていると言われます。ペアは「二次数」と呼ばれることもあります (例:スペクトル シーケンスを参照)。
• したがって、次数付きベクトル空間または次数付き線形空間は、空間の 直和に分解されるベクトル空間です。${\displaystyle I}$ ${\textstyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$
  • 次数付き線形写像は、次数付きベクトル空間間の、それらの次数を考慮した写像です。
• 次数付き環は、加法アーベル群の直和である環であり、は何らかのモノイド、通常は、または（単位元 のない環の場合）から取られます。 ${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
  • 適切なイデアルに関する可換環の付随する次数付き環はです。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\textstyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}/I^{n+1}}$
• 次数付き加群は、を満たす加群の直和である次数付き環上の左加群 です。 ${\displaystyle M}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$
  • 適切なイデアルに関する- 加群の関連する次数付き加群はです。${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I}$${\textstyle \operatorname {gr} _{I}M=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}M/I^{n+1}M}$
  • 微分次数モジュール、微分次数モジュール${\displaystyle \mathbb {Z} }$、またはDG モジュールは、連鎖複合体を作成する微分を持つ次数モジュールです。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\colon M\to M\colon M_{i}\to M_{i+1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d\circ d=0}$
• 次数付き代数は、環として次数が付けられた環上の代数 です。 が次数付きの場合、 も必要です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A_{i}R_{j}\subseteq A_{i+j}\supseteq R_{i}A_{j}}$
  • 次数付き代数上の写像に対する次数付きライプニッツ規則は、 と規定します。${\displaystyle d\colon A\to A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{|a|}a\cdot (db)}$
  • 微分次数代数、DG 代数、またはDGAlgebraは、その微分が次数ライプニッツ規則に従う微分次数モジュールである次数代数です。
  • 次数付き代数A上の同次微分は、 A上の次数d = | D |の同次線型写像であり、Aの同次元に作用します。${\displaystyle D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b),\varepsilon =\pm 1}$
  • 次数付き微分は、同じ 同次微分の合計です。${\displaystyle \epsilon }$
  • DGAは、拡張 DG 代数、または微分次数拡張代数です( 「微分次数代数」を参照)。
  • 超代数は- 次数代数です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
    • 次数付き可換超代数は、同次x、yに対して「超可換」法則を満たします。ここで、はの「パリティ」、つまり、それが存在する要素に応じて 0 または 1 を表します。${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy.}$${\displaystyle |a|}$${\displaystyle a}$
  • CDGA は、拡大微分次数可換代数のカテゴリを指す場合があります。
• 次数付きリー代数とは、リー括弧と互換性のある次数によってベクトル空間として次数付けされた リー代数です。
  • 次数付きリー超代数は、リー括弧の反可換性の要件が緩和された次数付きリー代数です。
  • 超次数リー超代数は、追加の超次数を持つ次数リー超代数です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$
  • 微分次数付きリー代数は、特性0 の体上の次数付きベクトル空間であり、双線型写像と、L内の任意の同次元x、yに対して「次数付きヤコビ恒等式」と次数付きライプニッツ則を満たす微分を伴います。${\displaystyle [\ ,]\colon L_{i}\otimes L_{j}\to L_{i+j}}$${\displaystyle d\colon L_{i}\to L_{i-1}}$${\displaystyle [x,y]=(-1)^{|x||y|+1}[y,x],}$
• 次数付きブラウアー群は、体F 上の有限次元次数付き中心分割代数を分類するブラウアー・ウォール群 の同義語です。${\displaystyle BW(F)}$
• カテゴリに対する次数付きカテゴリは、関数を伴うカテゴリです。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$
  • 微分次数カテゴリまたはDGカテゴリは、その射集合が微分次数 - 加群を形成するカテゴリです。${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 次数付き多様体–超対称性と超可換代数から得たアイデアに基づく多様体概念の拡張。
  • 段階的機能
  • 段階的ベクトル場
  • 段階的な外装フォーム
  • 段階的微分幾何学
  • 段階的微分積分

数学の他の分野では:

• 機能的に傾斜した要素は有限要素解析で使用されます。
• 次数付き poset は、が をカバーするような順序付け (つまり)と互換性のあるランク関数を持つposet です。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho \colon P\to \mathbb {N} }$${\displaystyle \rho (x)<\rho (y)\implies x<y}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\implies \rho (y)=\rho (x)+1}$

同じ名前に関連する記事のインデックス

このセット インデックス記事には、同じ名前 (または類似の名前) を持つ関連項目のリストが含まれています。
内部リンクによって誤ってここに誘導された場合は、リンクを変更して、目的の記事に直接アクセスしてください。