リービットパス代数

数学において、リービット パス代数は、有向グラフから構築される普遍代数です。リービット パス代数は、リービット代数を一般化したものであり、グラフ C* 代数の代数類似体と見なすことができます。

リービット経路代数は2005年にジーン・エイブラムスとゴンサロ・アランダ・ピノ^[1]、およびペレ・アラ、マリア・モレノ、エンリケ・パルド^[2]によって同時に導入されましたが、どちらのグループも相手の研究を知りませんでした。^[3] リービット経路代数は導入以来数十人の数学者によって研究されており、2020年にリービット経路代数は結合環と代数の一般分野の下でコード16S88で数学分野分類に追加されました。^[4]

基本的な参考文献はLeavitt Path Algebrasという本です。^[5]

Leavitt 経路代数の理論では、グラフに対して C* 代数学者と似た用語が使用されていますが、グラフ理論家が使用する用語とは少し異なります。グラフという用語は通常、頂点の可算集合、辺の可算集合、および各辺の範囲とソースをそれぞれ識別するマップで構成される有向グラフ を意味します。のとき、頂点はシンクと呼ばれます。つまり、 にはソース を持つ辺が存在しません。 が無限のとき、頂点は無限エミッタと呼ばれます。つまり、 にはソース を持つ辺が無限にあります。シンクまたは無限エミッタのいずれかである頂点は特異頂点と呼ばれ、特異頂点でない場合は正則頂点と呼ばれます。のソース を持つ辺の数が有限かつゼロ以外の場合のみ、頂点が正則であることに注意してください。 グラフに無限エミッタがない場合、グラフは行有限と呼ばれます。つまり、すべての頂点が通常の頂点かシンクのいずれかである場合です。 ${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s)}$${\displaystyle E^{0}}$${\displaystyle E^{1}}$${\displaystyle r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v)=\emptyset }$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$

パスは、すべての に対してとなる辺の有限列です。無限パスは、すべてのに対して となる辺の可算無限列です。サイクルはとなるパスであり、サイクルの出口は、ある に対してとなり、とな​​る辺です。すべての に対して となる場合、サイクルは単純サイクルと呼ばれます。 ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots }$${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle r(e_{n})=s(e_{1})}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle f\in E^{1}}$${\displaystyle s(f)=s(e_{i})}$${\displaystyle f\neq e_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle s(e_{i})\neq s(e_{1})}$${\displaystyle 2\leq i\leq n}$

以下は、Leavitt パス代数の研究で生じる 2 つの重要なグラフ条件です。

条件 (L): グラフ内のすべてのサイクルには出口があります。

条件 (K):グラフには、ちょうど 1 つの単純閉路上にある頂点はありません。同様に、グラフ内の各頂点が閉路上にないか、2 つ以上の単純閉路上にある場合にのみ、グラフは条件 (K) を満たします。

体 を固定します。Cuntz -Krieger族は、次の 3 つの関係 ( Cuntz-Krieger 関係と呼ばれる) が満たされる -代数内の集合です。${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \{s_{e}^{*},s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle K}$

(CK0) はすべての に対して、${\displaystyle p_{v}p_{w}={\begin{cases}p_{v}&{\text{if }}v=w\\0&{\text{if }}v\neq w\end{cases}}\quad }$${\displaystyle v,w\in E^{0}}$

(CK1)すべての に対して、${\displaystyle s_{e}^{*}s_{f}={\begin{cases}p_{r(e)}&{\text{if }}e=f\\0&{\text{if }}e\neq f\end{cases}}\quad }$${\displaystyle e,f\in E^{1}}$

(CK2)が正則頂点であるときはいつでも、${\displaystyle p_{v}=\sum _{s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}}$${\displaystyle v}$

(CK3)すべての に対して。${\displaystyle p_{s(e)}s_{e}=s_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$

に対応する Leavitt 経路代数は と表記され、 Cuntz–Krieger族によって生成される -代数として定義されます。これは、 が-代数内のCuntz–Krieger 族である場合はいつでも、すべての、すべてのに対して となる-代数準同型が存在するという意味で普遍的です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \{t_{e},t_{e}^{*},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \phi :L_{K}(E)\to A}$${\displaystyle \phi (s_{e})=t_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \phi (s_{e}^{*})=t_{e}^{*}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \phi (p_{v})=q_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$

に対して を定義し、経路に対してと を定義します。クンツ・クリーガー関係式を用いると、次のことが示せます。 ${\displaystyle p_{v}^{*}:=p_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle \alpha :=e_{1}\ldots e_{n}}$${\displaystyle s_{\alpha }:=s_{e_{1}}\ldots s_{e_{n}}}$${\displaystyle s_{\alpha }^{*}:=s_{e_{n}}^{*}\ldots s_{e_{1}}^{*}}$

${\displaystyle L_{K}(E)=\operatorname {span} _{K}\{s_{\alpha }s_{\beta }^{*}:\alpha {\text{ と }}\beta {\text{ は }}E 内のパスです\}。}$

したがって、 の典型的な要素は、内のスカラーとパスに対して の形を持ちます。が反転を持つ体である場合(たとえば、 のとき)、 による への*-演算を定義して を * -代数に することができます。${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{\alpha _{i}}s_{\beta _{i}}^{*}}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \lambda \mapsto {\overline {\lambda }}}$${\displaystyle K=\mathbb {C} }$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}s_{\alpha _{i}}s_{\beta _{i}}^{*}\mapsto \sum _{i=1}^{n}{\overline {\lambda _{i}}}s_{\beta _{i}}s_{\alpha _{i}}^{*}}$${\displaystyle L_{K}(E)}$

さらに、任意のグラフ に対して、Leavitt パス代数はグラフ C*-代数の稠密な *-部分代数に同型であることを示すことができます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{\mathbb {C} }(E)}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

Leavitt パス代数は多くのグラフに対して計算されており、次の表はいくつかの特定のグラフとその Leavitt パス代数を示しています。1 つの頂点から別の頂点に描かれラベルが付けられた二重矢印は、最初の頂点から 2 番目の頂点への辺が可算無限個あることを示すという規則を使用します。 ${\displaystyle \infty}$

グラフ C*-代数と同様に、 のグラフ理論的性質はの代数的性質に対応します。興味深いことに、 の代数的性質と同等な のグラフ性質は、 の対応する C*-代数的性質と同等なのグラフ性質と同じであることがよくあり、さらに、 の特性の多くは体 とは独立しています。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle K}$

次の表は、よく知られている同値関係のいくつかを短くまとめたものです。この表をグラフ C*-代数の対応する表と比較するとよいかもしれません。

経路 について、の長さを で表します。各整数 について、を定義します。これは、Leavitt 経路代数上の-次数を定義し、 は次数の同次元の成分であることを示すことができます。次数は、生成する Cuntz-Krieger -ファミリの選択に依存することに注意することが重要です。Leavitt 経路代数上の次数は、グラフ C*-代数 上のゲージ作用の代数的類似物であり、 の構造を解析するための基本的なツールです。 ${\displaystyle \alpha :=e_{1}\ldots e_{n}}$${\displaystyle |\alpha |:=n}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle L_{K}(E)_{n}:=\operatorname {span} _{K}\{s_{\alpha }s_{\beta }^{*}:|\alpha |-|\beta |=n\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle L_{K}(E)=\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }L_{K}(E)_{n}}$${\displaystyle L_{K}(E)_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \{s_{e},s_{e}^{*},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle C*(E)}$${\displaystyle L_{K}(E)}$

Leavitt パス代数には、次数付き一意性定理と Cuntz-Krieger 一意性定理という 2 つのよく知られた一意性定理があります。これらは、それぞれ、グラフ C* 代数のゲージ不変一意性定理と Cuntz-Krieger 一意性定理に類似しています。一意性定理の正式な記述は次のとおりです。

次数付き一意性定理: 体 を固定します。をグラフとし、を関連する Leavitt パス代数とします。が次数付き-代数であり、 がすべてのに対して の次数付き代数準同型である場合、 は単射です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \phi :L_{K}(E)\to A}$${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle \phi }$

Cuntz-Krieger の一意性定理: 体 を固定します。が条件 (L) を満たすグラフであり、 が関連する Leavitt パス代数であるとします。 が -代数であり、 がすべての に対して の代数準同型である場合、 は単射です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \phi :L_{K}(E)\to A}$${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle \phi }$

我々は、Leavitt 経路代数において「両側イデアル」を意味するために、イデアルという用語を使用します。 のイデアル構造は、から決定できます。 頂点のサブセットは、すべての に対して が成り立つ場合、遺伝的であると呼ばれます。 がの正則頂点である場合、 となる場合、遺伝的サブセットは飽和であると呼ばれます。 の飽和遺伝サブセットは包含によって部分的に順序付けられ、を含む最小の飽和遺伝サブセットとして定義されるmeetおよび join を持つ格子を形成します。 ${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H\subseteq E^{0}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle s(e)\in H}$${\displaystyle r(e)\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v}$${\displaystyle r(s^{-1}(v))\subseteq H}$${\displaystyle v\in H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\vee H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$

が飽和遺伝部分集合である場合、 はによって生成されるの両側イデアルとして定義されます。の両側イデアルは、 が-次数を持ち、すべての に対してである場合に、次数付きイデアルと呼ばれます。次数付きイデアルは包含によって部分的に順序付けられ、によって生成されるイデアルとして定義されるmeetおよび joinを持つ格子を形成します。任意の飽和遺伝部分集合 に対して、イデアルは次数付きです。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle \{p_{v}:v\in H\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle I=\bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }I_{n}}$${\displaystyle I_{n}=L_{K}(E)_{n}\cap I}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\vee I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\cup I_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$

次の定理は、 の次数付きイデアルが の飽和遺伝部分集合にどのように対応するかを説明しています。 ${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle E}$

定理: 体 を固定し、 を行有限グラフとします。このとき、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$

1. この関数は、 の飽和遺伝部分集合の格子から の次数付きイデアルの格子上への格子同型であり、逆関数は によって与えられます。${\displaystyle H\mapsto I_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle I\mapsto \{v\in E^{0}:p_{v}\in I\}}$
2. 任意の飽和遺伝部分集合 に対して、商はに -同型です。ここで は、頂点集合と辺集合を持つのサブグラフです。${\displaystyle H}$${\displaystyle L_{K}(E)/I_{H}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle L_{K}(E\setminus H)}$${\displaystyle E\setminus H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H}$${\displaystyle (E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)}$
3. 任意の飽和遺伝部分集合 に対して、イデアルはと同値な森田集合 であり、ここで は頂点集合と辺集合を持つのサブグラフです。${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle L_{K}(E_{H})}$${\displaystyle E_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{H}^{0}:=H}$${\displaystyle E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)}$
4. が条件 (K) を満たす場合、 のすべてのイデアルは次数付きであり、 のイデアルはの飽和遺伝部分集合と 1 対 1 に対応します。${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle L_{K}(E)}$${\displaystyle E}$