通常の円錐

代数幾何学において、スキームのサブスキームの法円錐は、微分幾何学における法束または管状近傍に類似したスキームです。

埋め込みi : X → Yの正規錐C _X Yまたは、イデアルIの層によって定義されるものは、相対的なSpecとして定義される。${\displaystyle C_{X/Y}}$ $${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}\right).}$$

埋め込みiが正規な場合、法線錐は法線バンドルであり、X上のベクトルバンドルは層I / I ²の双対に対応します。

X が点である場合、それに対する法円錐と法束は、その点に対する接円錐と接空間(ザリスキ接空間) とも呼ばれます。Y = Spec Rがアフィンである場合、定義は、 X = Spec R / Iに対する法円錐が、Iに関するRの関連する次数付き環の Spec であることを意味します。

Y が積X × Xであり、埋め込みi が対角埋め込みである場合、 YにおけるXへの法バンドルはXへの接バンドルです。

通常の円錐（またはむしろその射影的な同類）は、爆発の結果として現れます。正確には、 を Xに沿ったY の爆発とします。すると、定義により、例外的な因子は の射影円錐である原像 です。したがって、 $${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{X}Y=\operatorname {Proj} _{Y}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}\right)\to Y}$$${\displaystyle E=\pi ^{-1}(X)}$${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\bigoplus _ {0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$$${\displaystyle E=\mathbb {P} (C_{X}Y).}$$

正規束の大域的切断は、 YのXにおける埋め込み微小変形を分類する。双対数の環D上で平坦でX を特殊ファイバーとして持つY × _k Dの閉じた部分スキームの集合と H 0 ( ^X , N X Y ₎の間には自然な一対一関係がある。^[1]

が正則埋め込みである場合、 は正則埋め込みであり、 X上にベクトル束の自然な完全列が存在する: ^[2]${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z}$${\displaystyle j\circ i}$ $${\displaystyle 0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0.}$$

が余次元の正則埋め込みであり、が余次元の正則埋め込みである場合、 ^[2] 特に、が滑らかな射である場合、対角埋め込み（r折り畳み）への法バンドルは、相対接バンドルのr − 1 個のコピーの直和です。 ${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow X}$${\displaystyle c_{i}}$${\textstyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$$${\displaystyle \sum c_{i}}$$ $${\displaystyle N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}.}$$${\displaystyle X\to S}$ $${\displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X}$$ ${\displaystyle T_{X/S}}$

が閉じた浸漬であり、が平坦射であって である場合、^{[3] [要出典]}${\displaystyle X\hookrightarrow X'}$${\displaystyle Y'\to Y}$${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ $${\displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.}$$

が滑らかな射で、が正則埋め込みである場合、 X上にベクトル束の自然な完全列が存在する: ^{[4] （これは}余接層 の完全列の特別な場合である。） ${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ $${\displaystyle 0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0,}$$

垂直マップを持つスキームの直交座標の場合、正規円錐の 閉じた埋め込みが存在します。$${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$$${\displaystyle f:X'\to X}$$${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}}$$

を体上の有限型のスキームと閉じた部分スキームとします。 が純粋な次元rの場合、つまりすべての既約成分が次元r を持つ場合、も純粋な次元rになります。^[5]（これは、法円錐への #変形 の結果として見ることができます。）この特性は、交差理論への応用の鍵となります。ある周囲空間内の閉じた部分スキームのペアが与えられた場合、スキーム理論の交差には の位置に微妙に依存してさまざまな次元の既約成分がありますが、 への法円錐は純粋な次元です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle W\subset X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{W/X}}$${\displaystyle V,X}$ ${\displaystyle V\cap X}$${\displaystyle V,X}$${\displaystyle V\cap X}$

を実効カルティエ因子とする。すると、それに対する法線束（またはそれに対する法線錐）は^[6]${\displaystyle D\hookrightarrow X}$ $${\displaystyle N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}.}$$

非正規埋め込み^{[7] : 4–5} を考えると 、まず次を観察することで正規円錐を計算できます。 補助変数を作成して 関係式を得る と、 これを使用して正規円錐を相対スペクトルとして表すことができます。 はアフィンな ので、相対スペクトルをアフィンスキームとして書き出すだけで、正規円錐が得られます。 $${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle a=xz}$${\displaystyle b=yz}$$${\displaystyle ya-xb=0.}$$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)}$$${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(xz,yz,ya-xb)}}\right)}$$

法円錐の幾何学的形状は、 のさまざまな閉じた点のファイバーを見ることによってさらに詳しく調べることができます。 は幾何学的に-平面と-軸の和集合であるため、関心のある点は平面上の滑らかな点、軸上の滑らかな点、およびそれらの交点にある点であることに注意してください。平面上の滑らかな点は、 および または に対する写像によって与えられます。どの点を取るかは任意であるため、便宜上 と仮定します。したがって、点 におけるのファイバーは と同型であり、予想どおり、法円錐を 1 次元の線として与えます。軸上の点の場合、これは写像によって与えられ、したがって点 におけるファイバーはであり、平面を与えます。原点 では、その点上の法円錐は と再び同型です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle H}$${\displaystyle z}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle X=H\cup L}$$$${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto z_{1}&y\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{matrix}}}$$${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{1}\neq 0}$${\displaystyle z_{2}\neq 0}$${\displaystyle z_{1}\neq 0,z_{2}=0}$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle p=(z_{1},0,0)}$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{p}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(z_{1}b)}}\cong \mathbb {C} [a]}$$${\displaystyle q}$$${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{matrix}}}$$${\displaystyle q=(0,0,z_{3})}$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{q}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(0)}}\cong \mathbb {C} [a,b]}$$${\displaystyle r=(0,0,0)}$${\displaystyle \mathbb {C} [a,b]}$

上の多項式によって与えられる節点 3 次曲線と、節点の点に対して、円錐は同型性を持ち、正規円錐はそれが乗るスキームよりも多くの成分を持つことを示します。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y]/\left(y^{2}-x^{2}\right)\right)}$$

が埋め込みであると仮定する。これは、次の意味で、通常の円錐（ゼロ断面として）の埋め込みに変形できる： ^{[7] ：6}一般的なファイバーと特別なファイバーを持つ平坦な族が存在し、次のような閉じた埋め込みの族が存在する。 ${\displaystyle i:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{X/Y}}$$${\displaystyle \pi :M_{X/Y}^{o}\to \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C_{X/Y}}$$${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

1. 任意の点上の関連する埋め込みは埋め込みである${\displaystyle t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}}$${\displaystyle X\times \{t\}\hookrightarrow Y}$
2. 上のファイバーは、ゼロセクションによって与えられたの埋め込みです。${\displaystyle 0\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\hookrightarrow C_{X/Y}}$

この構成は、交差の管状近傍で非横断交差が実行される微分位相幾何学に類似したツールを定義します。ここで、のサイクルとの交差は、の交差点のプッシュフォワードと のプルバックとして表すことができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle C_{X/Y}}$

これの応用例の 1 つは、 Chow 環における交差積の定義です。XとV が交差Wを持つYの閉じた部分スキームであるとし、 Yの Chow 環におけるXとVの交差積を定義したいとします。この場合の正規錐への変形とは、XとWのYとVへの埋め込みをそれらの正規錐C _Y ( X ) とC _W ( V ) に置き換えることを意味し、 C _X YにおけるXとC _W Vの積を求めます。これははるかに簡単にできます。たとえば、X がYに正則に埋め込まれている場合、その正規錐はベクトル束であるため、ベクトル束C _X Yの部分スキームC _W Vと零断面Xとの交差積を求める問題になります。ただし、この交差積は、 C _W Vに Gysin 同型性を適用することによってのみ得られます。

具体的には、正規円錐への変形は、ブローアップによって構築できます。正確には、 を に沿った のブローアップとします。例外的な因子は、つまり正規円錐の射影完備化です。ここで使用する表記については、円錐 (代数幾何学) § 特性 を参照してください。正規円錐は の開部分スキームであり、に零切断として埋め込まれます。 $${\displaystyle \pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle Y\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)}$${\displaystyle C_{X}Y}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{X}Y}$

ここで、次の点に留意します。

1. 地図は、投影に従って平面になっています。${\displaystyle \rho :M\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \pi }$
2. 上の射である誘導された閉じた埋め込みが存在します。$${\displaystyle {\widetilde {i}}:X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
3. Mはゼロから離れると自明である。つまり、自明な埋め込みに制限される。${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)}$${\displaystyle {\widetilde {i}}}$$${\displaystyle X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0).}$$
4. ${\displaystyle \rho ^{-1}(0)}$除数はYのXに沿った拡大であり、有効なカルティエ除数として見られる和であるためです。$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}+{\widetilde {Y}}}$$${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$
5. 約数と はで交差するので、 は の無限大位置に存在します。${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$

項目 1 は明らかです (ねじれがないことを確認してください)。一般に、 が与えられれば、 が成り立ちます。はすでに 上の有効なカルティエ因子であるため、 が 得られます。項目 3 は、ブローダウン マップ π が中心 から離れた同型であるという事実から生じます。最後の 2 つの項目は、明示的なローカル計算からわかります。QED${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle \operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y}$${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M,}$$${\displaystyle {\widetilde {i}}}$${\displaystyle X\times 0}$

さて、前の段落の最後の項目は、 M内の の像がと交差しないことを意味します。したがって、 iをXの正規円錐へ のゼロ断面埋め込みに変形します。${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$

を体 上の局所的に有限型のDeligne–Mumford スタックとします。 がに対するXのコタンジェント複体を表す場合、 の固有法線バンドル^{[8] : 27}から は商スタックであり、これは上のfppf -トルソルのスタックです。 このスタック商の具体的な解釈は、スタック のエタール トポスにおけるその動作を局所的に調べることで得られます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })}$$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}}$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}}$${\displaystyle X}$

より具体的には、アフィン有限型-スキームからのエタール射と、滑らかなアフィン有限型-スキームへの局所的に閉じた浸漬があるとします。すると、本質的な正規バンドルを、正規列が右側で正確ではないことのスタック化として理解できるということを示すことができます。さらに、以下で説明する特殊なケースでは、商を、ある三角形化されたカテゴリの三角形としての前の列の継続として考えています。これは、特定のケースでは、 局所スタック商がと解釈できるためです。${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}|_{U}=[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$$$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{U}\to {\mathcal {T}}_{M}|_{U}\to {\mathcal {N}}_{U/M}}$$${\displaystyle [N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$$${\displaystyle B{\mathcal {T}}_{U}={\mathcal {T}}_{U}[+1]}$$

への固有の法線錐はと表記され、^{[8] : 29 は}法線束を法線錐 に置き換えることによって定義される。すなわち、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}}$${\displaystyle N_{U/M}}$${\displaystyle C_{U/M}}$$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$$

例: が局所完全交差となるのは、 の場合に限ります。特に、が滑らかな場合、 は上の可換群スキームである接線バンドル の分類スタックです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}$${\displaystyle T_{X}}$${\displaystyle X}$

より一般的には、 は局所的に有限型であるアルティンスタックのドリーニュ・マンフォード型（DM 型）射であるとします。すると は、 が何らかの滑らかな写像（例えば）を因数分解する任意のエタール写像に対して、引き戻しが 次の式で表されるような閉じたサブスタックとして特徴付けられます。${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}}$${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle U\to X\to Y}$${\displaystyle M\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y}$$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].}$$

• アーベル円錐
• セグレクラス
• 残差交差
• 仮想基礎クラス

• ベーレンド、K.ファンテキ、B. (1997-03-01)。 「固有の法線円錐」。数学の発明。128 (1): 45–88。arXiv : alg-geom/9601010。土井：10.1007/s002220050136。ISSN  0020-9910。S2CID  18533009。
• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157

• 通常の錐体の繊維