カップリング（確率）

確率論において、カップリングとは、XとYにそれぞれ対応する周辺分布を持つランダム ベクトルW を作成することにより、 2 つの無関係なランダム変数 (分布) XとYを比較できる証明手法です。Wの選択は一般に一意ではなく、「カップリング」の全体的な考え方は、 XとYが特に望ましい方法で関連付けられる ようにそのような選択を行うことです。

確率論の標準的な形式論を用いて、および を確率空間および上で定義された 2 つのランダム変数とします。すると、 と の結合は、 と同じ分布を持ち、 と同じ分布を持つ2 つのランダム変数 および が存在する新しい確率空間となります。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle (\オメガ _{1},F_{1},P_{1})}$${\displaystyle (\オメガ _{2},F_{2},P_{2})}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle (\Omega,F,P)}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$${\displaystyle X_{2}}$

興味深いケースは、とが独立していない場合です。 ${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

2 つの粒子AとB が2 次元で単純なランダム ウォークを実行するが、異なる点からスタートするとします。これらを結合する最も簡単な方法は、単に一緒に歩くように強制することです。すべてのステップで、 A が上へ歩くとBも歩き、Aが左へ移動するとB も歩き、などとなります。したがって、2 つの粒子の位置の差は一定のままです。 Aに関する限り、 A は完全なランダム ウォークを実行していますが、Bはコピーキャットです。B は反対の見解、つまり、実質的に B がオリジナルで、Aがコピーであると考えています。そして、ある意味ではどちらも正しいのです。言い換えれば、通常のランダム ウォークに当てはまる数学的な定理や結果は、 AとB の両方にも当てはまります。

ここで、より複雑な例を考えてみましょう。A が点 (0,0) からスタートし、B が点 (10,10) からスタートするとします。まず、これらを垂直方向に一緒に歩くように結合します。つまり、Aが上に行くと B も上がりますが、水平方向には鏡像になります。つまり、A が左に行くとB は右に行き、その逆も同様です。この結合を、AとB が同じ水平座標を持つまで、つまり、垂直線 (5, y ) 上になるまで続けます。これらが決して出会わない場合は、このプロセスを永久に続けます (ただし、その確率はゼロです)。このイベントの後、結合ルールを変更します。これらを水平方向には一緒に歩きますが、垂直方向は鏡像ルールになります。これらが垂直方向でも出会うまでこのルールを続け (出会えば)、その時点から、これらを一緒に歩くようにします。

これは、どちらの粒子も、単独では、私たちが行ったことを「感じる」ことができないという意味での結合です。他の粒子が何らかの方法でそれに従うという事実も、私たちが結合規則を変更したという事実も、いつ変更したかもわかりません。各粒子は単純なランダムウォークを実行します。それでも、私たちの結合規則は、それらがほぼ確実に出会い、その時点から永久に一緒に進むことを強制します。これにより、「長期的には」特定の結果を得るためにどこから始めたかは重要ではないという多くの興味深い結果を証明することができます。

2枚の偏ったコインがあるとします。1枚目は表が出る確率がpで、2枚目は表が出る確率がq > pです。直感的には、両方のコインを同じ回数投げた場合、1枚目のコインの方が2枚目よりも表が出る回数が少ないと予想されます。より具体的には、任意の固定kに対して、1枚目のコインで少なくともk回表が出る確率は、2枚目のコインで少なくともk回表が出る確率よりも低いはずです。しかし、標準的な計数議論では、このような事実を証明するのは難しい場合があります。^[1]カップリングにより、この問題は簡単に回避できます。

X ₁、X ₂、...、X _{n を}最初のコインを投げたときの表の指標変数とする。2番目のコインに対して、新しいシーケンスY ₁、Y ₂、...、Y _nを定義し、

• X _i = 1ならば、Y _i = 1、
• X _i = 0の場合、確率 ( q  −  p )/(1 −  p ) でY _i = 1 になります。

すると、 Y _iのシーケンスは、2番目のコインを投げたときの確率分布とまったく同じになります。しかし、 Y _{i は}X _iに依存するため、2つのコインを投げるたびに比較することが可能になります。つまり、任意のk ≤ nに対して、

${\displaystyle \Pr(X_{1}+\cdots +X_{n}>k)\leq \Pr(Y_{1}+\cdots +Y_{n}>k).}$

1 つのプロセスを定常分布の外側で初期化し、別のプロセスを定常分布の内側で初期化します。これら 2 つの独立したプロセスを結合します。時間が経過するにつれて、これら 2 つのプロセスは独立して進化します。特定の条件下では、これら 2 つのプロセスは最終的に出会い、その時点で同じプロセスと見なすことができます。つまり、定常分布の外側のプロセスは定常分布に収束します。 ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$

• コピュラ（確率論）
• クラスカル数

• Lindvall, T. (1992).カップリング法に関する講義. ニューヨーク: Wiley. ISBN 0-471-54025-0。
• Thorisson, H. (2000).結合、定常性、再生. ニューヨーク: Springer.