プラバカール関数

プラバカール関数は、インドの数学者ティラク・ラージ・プラバカールが1971年に発表した論文で導入した数学の特殊関数です。 ^{[1]この関数は、数学でよく知られている2パラメータの}ミッタク・レフラー関数を3パラメータに一般化したものです。この関数はもともと、特定のクラスの積分方程式を解くために導入されました。後に、この関数は分数微積分理論や物理学の特定の分野にも応用できることが分かりました。^[2]

まず、1パラメータおよび2パラメータのミッタグ・レフラー関数を定義します。次に、3パラメータのミッタグ・レフラー関数であるプラバカール関数の定義を示します。以下の定義では、よく知られているガンマ関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-z}\,dz,\quad \Re (z)>0}$。

以下では、、およびはすべて複素数であると 仮定します。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \gamma}$

1パラメータミッタグ・レフラー関数は次のように定義される^[3]

${\displaystyle E_{\alpha }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+1)}}.}$

2パラメータミッタグ・レフラー関数は次のように定義される^[4]

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{\Gamma (\alpha n+\beta )}},\quad \Re (\alpha )>0.}$

3パラメータミッタク・レフラー関数（プラバカール関数）は^{[1] [5] [6]で定義される。}

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(\gamma )_{n}}{n!\ガンマ (\alpha n+\beta )}}z^{n},\quad \Re (\alpha )>0}$

どこ。 ${\displaystyle (\gamma )_{n}=\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)}$

この定義から、次のような特殊なケースが直ちに導かれる。^[2]

1. ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{0}(z)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}}$
2. ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{1}(z)=E_{\alpha ,\beta }(z)}$2パラメータのミッタグ・レフラー関数。
3. ${\displaystyle E_{\alpha ,1}^{1}(z)=E_{\alpha }(z)}$、1パラメータのミッタグ・レフラー関数。
4. ${\displaystyle E_{1,1}^{1}(z)=e^{z}}$、古典的な指数関数。

次の式を簡約すると、3番目のパラメータの値が小さくなります。^[2]${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma +1}(z)={\frac {1}{\alpha \gamma }}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta +\alpha \gamma )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z){\big ]}}$

Prabhakar 関数はFox–Wright 関数と次の関係にあります。

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)={\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}{}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\gamma ,1\right)\\(\beta ,\alpha )\end{matrix}};z\right)}$

プラバカール関数の導関数は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {1}{\alpha z}}{\big [}E_{\alpha ,\beta -1}^{\gamma }(z)+(1-\beta )E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }{\big ]}}$

高階微分には一般的な表現がある。を正の整数とする。プラバカール関数の次微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)\right)={\frac {\Gamma (\gamma +m)}{\Gamma (\gamma )}}E_{\alpha ,m\alpha +\beta }^{\gamma +m}(z)}$

次の結果はアプリケーションに役立ちます。

${\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\left(t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\right)=t^{\beta -m-1}E_{\alpha ,\beta -m}^{\gamma }(t^{\alpha }z)}$

Prabhakar 関数に関する次の結果が知られています。

${\displaystyle \int _{0}^{t}\tau ^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(\tau ^{\alpha }z)=t^{\beta }E_{\alpha ,\beta +1}^{\gamma }(t^{\alpha }z)}$

ラプラス変換を含む次の結果は、プラバカール関数の物理的な応用と数値計算の両方で重要な役割を果たします。

${\displaystyle L\left[t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)\,;\,s\right]={\frac {s^{\alpha \gamma -\beta }}{(s^{\alpha }-z)^{\gamma }}},\quad \Re (s)>0,\quad |s|>|z|^{1/\alpha }}$

以下の関数は文献ではプラバカールカーネルとして知られています。^[2]

${\displaystyle e_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t;\lambda )=t^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(t^{\alpha }z)}$

任意の関数 が与えられた場合、プラバカール核と の畳み込みはプラバカール分数積分と呼ばれます。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}(t-u)^{\beta -1}E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }\left(\lambda (t-u)^{\alpha }\right)f(u)\,du}$

プラバカール分数積分の性質は文献で広く研究されている。^{[7] [8]}