比例制御

比例制御は、工学およびプロセス制御において、制御変数に補正が適用され、補正の大きさが目標値 (設定点、SP) と測定値 (プロセス変数、PV) の差に比例する線形フィードバック 制御システムの一種です。2 つの典型的な機械的な例として、便器のフロート比例弁とフライボール調速機があります。

比例制御の概念は、バイメタル家庭用サーモスタットなどのオンオフ制御システムよりも複雑ですが、自動車のクルーズコントロールなどで使用される比例積分微分 (PID)制御システムよりも単純です。オンオフ制御は、システム全体の応答時間が比較的長い場合に機能しますが、制御対象のシステムの応答時間が速い場合は不安定になる可能性があります。比例制御は、不安定さを回避するレベルで制御バルブなどの制御デバイスへの出力を調整することでこれを克服し、最適な量の比例ゲインを適用して可能な限り迅速に修正を適用します。

比例制御の欠点は、比例出力を生成するために誤差が必要となるため、温度制御などの補償を伴うプロセスにおける残留 SP − PV 誤差を排除できないことです。これを克服するために、比例項 (P) を使用して総誤差を除去し、積分項( I) を使用して誤差を時間とともに積分し、コントローラ出力の「I」コンポーネントを生成することで残留オフセット誤差を排除するPI コントローラが考案されました。

比例制御アルゴリズムでは、コントローラの出力は、設定点とプロセス変数の差であるエラー信号に比例します。言い換えると、比例コントローラの出力は、エラー信号と比例ゲインの乗算積です。

これは数学的に次のように表現できる。

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)+p0}}$

どこ

• ${\displaystyle p0}$: エラーがゼロのコントローラー出力。
• ${\displaystyle P_{\mathrm {out} }}$: 比例制御器の出力
• ${\displaystyle K_{p}}$: 比例ゲイン
• ${\displaystyle e(t)}$: 時刻tにおける瞬間的なプロセスエラー。 ${\displaystyle e(t)=SP-PV}$
• ${\displaystyle SP}$: 設定ポイント
• ${\displaystyle PV}$: プロセス変数

制約: 実際のプラントでは、アクチュエータには の制約として表現できる物理的な制限があります。たとえば、最大出力制限が -1 から +1 である場合、 はその範囲に制限されます。 ${\displaystyle P_{\mathrm {out} }}$${\displaystyle P_{\mathrm {out} }}$

条件: 単位のない数値として表現することが望ましいです。これを行うには、機器のスパンとの比率として表現します。このスパンはエラーと同じ単位 (例: C 度) であるため、比率には単位がありません。 ${\displaystyle K_{p}}$${\displaystyle e(t)}$

比例制御は を指示します。 示されているブロック図から、r（設定点）はタンクへの流量、eは誤差（設定点と測定されたプロセス出力の差）であると仮定します。はプロセス伝達関数です。ブロックへの入力は流量で、出力はタンクレベルです。 ${\displaystyle {\mathit {g_{c}=k_{c}}}}$${\displaystyle {\mathit {g_{p}}},}$

設定点rの関数としての出力は、閉ループ伝達関数と呼ばれます。 の極が安定している場合、閉ループ システムは安定しています。 ${\displaystyle {\mathit {g_{cl}}}={\frac {\mathit {g_{p}g_{c}}}{1+g_{p}g_{c}}},}$${\displaystyle {\mathit {g_{cl}}},}$

一次プロセスの場合、一般的な伝達関数は です。これを上記の閉ループ伝達関数と組み合わせると が返されます。この式を簡略化すると となり、ここでとなります。このシステムの安定性のためにはであるため、 は正の数でなければなりません。また(標準的な方法は であることを確認することです)。 ${\displaystyle g_{p}={\frac {k_{p}}{\tau _{p}s+1}}}$${\displaystyle g_{CL}={\frac {\frac {k_{p}k_{c}}{\tau _{p}s+1}}{1+{\frac {k_{p}k_{c}}{\tau _{p}s+1}}}}}$${\displaystyle g_{CL}={\frac {k_{CL}}{\tau _{CL}s+1}}}$${\displaystyle k_{CL}={\frac {k_{p}k_{c}}{1+k_{p}k_{c}}}}$${\displaystyle \tau _{CL}={\frac {\tau _{p}}{1+k_{p}k_{c}}}}$${\displaystyle \tau _{CL}>0}$${\displaystyle \tau _{p}}$${\displaystyle k_{p}k_{c}>-1}$${\displaystyle k_{p}k_{c}>0}$

システムにステップ変化を導入すると、出力応答は次のようになります。 ${\displaystyle y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}}$

最終値定理を用いると、

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\lim _{s\,\searrow \,0}\left(s\times {\frac {k_{CL}}{\tau _{CL}s+1}}\times {\frac {\Delta R}{s}}\right)=k_{CL}\times \Delta R=y(t)|_{t=\infty }}$

これは、システム内に常にオフセットが存在することを示しています。

積分プロセスの場合、一般的な伝達関数は であり、これを閉ループ伝達関数と組み合わせると になります。 ${\displaystyle g_{p}={\frac {1}{s(s+1)}}}$${\displaystyle g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}}$

システムにステップ変化を導入すると、出力応答は次のようになります。 ${\displaystyle y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}}$

最終値定理を用いると、

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\lim _{s\,\searrow \,0}\left(s\times {\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}\times {\frac {\Delta R}{s}}\right)=\Delta R=y(t)|_{t=\infty }}$

つまり、このシステムにはオフセットはありません。これは比例制御器を使用するときにオフセットが発生しない唯一のプロセスです。^[1]

オフセット誤差は、目標値と実際の値の差、SP − PV誤差です。比例制御だけでは、出力調整を生成するために誤差が必要になるため、さまざまな動作条件でオフセット誤差を排除することはできません。^[1]比例コントローラは、予想される条件でオフセット誤差を排除するように調整できますが（可能であればp0調整を介して）、プロセスで外乱（既存の状態または設定点調整からの逸脱）が発生すると、比例制御のみに基づく修正制御アクションによってオフセット誤差が発生します。

バネで吊り下げられた物体を単純な比例制御として考えてみましょう。バネは、物体が一時的に移動する可能性のある外乱にもかかわらず、物体を特定の場所に維持しようとします。 フックの法則によると、バネは物体の変位に比例した修正力を適用します。これにより物体は特定の場所に保持される傾向がありますが、物体の質量が変化すると、物体の絶対的な静止位置は変化します。静止位置のこの差がオフセット誤差です。

比例帯とは、最終的な制御要素 (たとえば、制御バルブ) が 1 つの極値から別の極値に移動するコントローラ出力の帯域です。数学的には、次のように表すことができます。

${\displaystyle PB={\frac {100}{K_{p}}}\ }$

したがって、比例ゲインが非常に高い場合、比例帯は非常に小さくなります。つまり、最終制御要素が最小値から最大値（またはその逆）に変化するコントローラ出力の帯域は非常に小さくなります。これは、が非常に高いオンオフコントローラの場合に当てはまり、したがって、小さな誤差でも、コントローラ出力は一方の極値からもう一方の極値に駆動されます。 ${\displaystyle K_{p}}$${\displaystyle K_{p}}$

比例制御がオンオフ制御よりも明らかに優れていることは、車の速度制御で実証できます。オンオフ制御の類似点は、全出力または無出力を適用し、デューティ サイクル を変化させて速度を制御することで車を運転することです。目標速度に達するまで電力はオンになり、その後電力が除去されるため、車は減速します。速度が目標値を下回ると、一定のヒステリシスを伴って、全出力が再び適用されます。これにより、明らかに制御が不十分になり、速度が大きく変動することがわかります。エンジンが強力であればあるほど、不安定性は大きくなります。車が重いほど、安定性は高くなります。安定性は、車両の パワー対ウェイト レシオと相関して表現できます。

比例制御では、出力は常に (実際の速度と目標速度の) 誤差に比例します。車が目標速度に達していて、勾配が下降しているために速度がわずかに上昇した場合、出力はわずかに、または誤差の変化に比例して減少します。そのため、車は徐々に速度を落とし、ほとんど (またはまったく) オーバーシュートせずに新しい目標点に到達します。これは、オン/オフ制御よりもはるかにスムーズな制御です。実際には、PID コントローラは、これや、比例制御のみを使用するよりも応答性の高い制御を必要とする他の多数の制御プロセスに使用されます。

• オンオフ制御やバンバン制御と比較した比例制御