特異積分

数学において、特異積分は調和解析の中心であり、偏微分方程式の研究と密接に関係している。大まかに言えば、特異積分は積分演算子である。

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

の核関数K  : R ⁿ × R ⁿ  →  Rは対角線x  =  yに沿って特異です。具体的には、特異点は、| K ( x ,  y )| が | x  − y | → 0 のときに漸近的にサイズ | x −  y | − n になるようなものです。この よう な積分^は一般に絶対積分可能ではない可能性があるため、厳密な定義では、ε → 0 のときの | y  −  x | > ε上の積分の極限として定義する必要がありますが、実際にはこれは技術的な問題です。通常、 L ^p ( R ⁿ )上の有界性などの結果を得るには、さらなる仮定が必要です。

典型的な特異積分演算子はヒルベルト変換 Hである。これは、 x がRにある場合の核K ( x ) = 1/(π x )に対する畳み込みによって与えられる。より正確には、

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|xy|>\varepsilon }{\frac {1}{xy}}f(y)\,dy.}$

これらの最も直接的な高次元類似物はリース変換であり、K ( x ) = 1/ x を次のように 置き換える。

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

ここで、i = 1, ..., nであり、 R ⁿにおけるxのi番目の成分である。これらの演算子はすべてL ^pで制限され、弱型(1, 1)推定値を満たす。^[1]${\displaystyle x_{i}}$

畳み込み型の特異積分は、 R ⁿ \{0} 上で局所積分可能な核Kとの畳み込みによって定義される演算子Tであり、

カーネルが以下を満たすと仮定します。

1. Kのフーリエ変換におけるサイズ条件

   ${\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

2. 滑らかさの条件：あるC  > 0に対して、

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(xy)-K(x)|\,dx\leq C.}$

すると、 TはL ^p ( R ⁿ )上で有界であり、弱型(1, 1)推定を満たす ことが示されます。

性質1は、主値積分によって与えられる緩和分布pv  Kとの畳み込み（ 1）を保証するために必要である。

${\displaystyle \operatorname {pv} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}$

はL ²上の明確に定義されたフーリエ乗数である。1. または 2. の性質はどちらも必ずしも簡単に検証できるわけではなく、さまざまな十分条件が存在する。通常、応用においては、キャンセル条件 も存在する。

${\displaystyle \int _{R_{1},R_{2}>0} は、$

これは簡単に確認できます。例えば、Kが奇関数であれば自動的に確認できます。さらに、2.と次のサイズ条件を仮定すると、

${\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}$

すると、1. が成り立つことが示されます。

滑らかさの条件 2. も原理的には確認が難しいことが多いため、カーネルKの次の十分条件を使用できます。

• ${\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}$
• ${\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}$

これらの条件はヒルベルト変換とリース変換に対して満たされていることに注目してください。したがって、この結果はそれらの結果の拡張です。^[2]

これらはさらに一般的な演算子です。ただし、仮定が非常に弱いため、これらの演算子がL ^pに制限されるとは限りません。

関数K  : R ⁿ × R ⁿ → Rは、定数C  > 0およびδ  > 0に対して次の条件を満たす場合、カルデロン-ジグムンド核と呼ばれる。^[2]

1. ${\displaystyle |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|xy|^{n}}}}$

2. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|xx'|^{\delta }}{{\bigl (}|xy|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ }}|xx'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|xy|,|x'-y|{\bigr )}}$

3. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|yy'|^{\delta }}{{\bigl (}|xy|+|xy'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ }}|yy'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|xy'|,|xy|{\bigr )}}$

Tは、カルデロン・ジグムント核Kに関連する非畳み込み型の特異積分演算子であるとは、

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}$

fとgが滑らかで互いに素な台を持つときはいつでも^[2]、そのような作用素はL ^p

カルデロン・ジグムント核Kに関連する非畳み込み型Tの特異積分は、 L ²で有界となるとき、つまりC  > 0が存在して次の式 が成り立つとき、カルデロン・ジグムント作用素と呼ばれる。

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

すべての滑らかでコンパクトに支えられたƒ に対して。

このような演算子は、実際には、 1 <  p  < ∞ のすべてのL ^p上でも制限されることが証明できます。

T ( b )定理は、特異積分演算子がカルデロン-ジグムント演算子となるための十分な条件、つまりカルデロン-ジグムント核に関連付けられた特異積分演算子がL ²上で有界となるための十分な条件を提供します。結果を述べるには、まずいくつかの用語を定義する必要があります。

正規化されたバンプは、半径1の球で支えられ、原点を中心とするR ⁿ上の滑らかな関数φであり、すべての多重添字 | α | ≤  n  + 2に対して | ∂ ^α φ ( x )| ≤ 1 が成り立つ。R nのすべてのxとr > 0 に対して、 τ ^x ( φ )( y ) =  φ ( y  −  x ) およびφ _r ( x ) =  r ^{− n} φ ( x / r ) と表記する。^定数C が存在し、  

${\displaystyle \left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r}) (y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}}$

すべての正規化されたバンプφとψに対して。Rのすべてのxに対してRe( b )( x ) ≥  c となる定数c > 0 が存在する場合、関数は増加的であると言われます。関数bによる乗算によって与えられる演算子をM _bで表します。

T ( b )定理は、カルデロン・ジグムント核に関連付けられた特異積分作用素Tが_{、ある有界増加関数}b1とb2に対して次の3つの条件をすべて満たす場合、L2上^{で有界になることを述べて}_います。^[3]

1. ${\displaystyle M_{b_{2}}TM_{b_{1}}}$弱有界である。
2. ${\displaystyle T(b_{1})}$BMOにあります。
3. ${\displaystyle T^{t}(b_{2}),}$はBMOにあり、ここでT ^{t は}Tの転置演算子です 。

• 閉曲線上の特異積分作用素

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• Calderon, AP ; Zygmund, A. (1956)、「特異積分について」、American Journal of Mathematics、78 (2)、ジョンズホプキンス大学出版局: 289–309、doi :10.2307/2372517、ISSN  0002-9327、JSTOR  2372517、MR  0084633、Zbl  0072.11501。
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