分数順序システム

力学システムと制御理論の分野において、分数次システムとは、非整数次数の導関数を含む分数微分方程式でモデル化できる力学システムである。^{[1]このようなシステムは}分数ダイナミクスを持つと言われる。分数次数の導関数と積分は、べき乗法則の非局所性、^[2]べき乗法則の長距離依存性、またはフラクタル特性によって特徴付けられるオブジェクトを記述するために使用される。分数次システムは、物理学、電気化学、生物学、粘弾性、カオスシステムにおける力学システムの異常な動作を研究するのに役立ちます。^[1]

^{一般的な分数次力学系は[3]の}形式で記述できる。

${\displaystyle H(D^{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}})(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})=G(D^{\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}})(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k})}$

ここで、およびは次数の分数微分演算子の関数であり、およびは時間の関数です。これの一般的な特殊なケースは、 1変数の線形時間不変(LTI)システムです。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle u_{j}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{m}a_{k}D^{\alpha _{k}}\right)y(t)=\left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}D^{\beta _{k}}\right)u(t)}$

と の順序は一般に複素数であるが、順序が釣り合う2つの興味深いケースがある。${\displaystyle \alpha_{k}}$${\displaystyle \beta _{k}}$

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta \in R^{+}}$

そして、それらが合理的であるとき：

${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}=k\delta ,\quad \delta ={\frac {1}{q}},q\in Z^{+}}$

のとき、導関数は整数次であり、システムは常微分方程式になります。このように、特殊化が進むにつれて、LTI システムは一般次数、比例次数、有理数次数、または整数次数になります。 ${\displaystyle q=1}$

上記のLTIシステムにラプラス変換を適用すると、伝達関数は次のようになります。

${\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}s^{\beta _{k}}}{\sum _{k=0}^{m}a_{k}s^{\alpha _{k}}}}}$

一般の順序では、これは非有理伝達関数です。非有理伝達関数は有限個の項の展開として記述することはできません（たとえば、二項展開は無限個の項を持ちます）。この意味で、分数順序システムは無制限のメモリの可能性を秘めていると言えます。^[3]${\displaystyle \alpha_{k}}$${\displaystyle \beta _{k}}$

指数法則は人口密度のダイナミクスを研究するための古典的なアプローチですが、ダイナミクスが指数法則よりも速いか遅い法則に従うシステムも数多くあります。そのような場合、ダイナミクスの異常な変化はミッタク・レフラー関数によって最もよく説明される可能性があります。^[4]

異常拡散は、拡散プロセスにおける異常な流れを記述するために分数次システムが重要な役割を果たすもう 1 つの動的システムです。

粘弾性と は、物質が純粋に弾性と純粋に流体の中間の性質を示す性質である。実際の物質の場合、フックの法則とニュートンの法則によって示される応力とひずみの関係はどちらも明らかに不利である。そこで、 GWスコット・ブレアは、応力とひずみの間に次式で表される新しい関係を導入した 。

${\displaystyle \sigma (t)=E{D_{t}^{\alpha }}\varepsilon (t),\quad 0<\alpha <1.}$^[要出典]

カオス理論では、カオスは3以上の次数の力学系で発生することが観察されている。分数次数システムの導入により、全次数が3未満のシステムにおけるカオスを研究する研究者もいる^。[5]

神経科学では、ラットの大脳新皮質錐体細胞が刺激統計の変化の時間スケールに応じて適応することがわかっています。この複数の時間スケールへの適応は分数階微分と一致しており、ニューロンの発火率はゆっくりと変化する刺激パラメータの分数微分です。^[6]

分数階の初期値問題を考えてみましょう。

${\displaystyle {_{0}^{C}D_{t}^{\alpha }}x(t)=f(t,x(t)),\quad t\in [0,T],\quad x(0)=x_{0},\quad 0<\alpha <1.}$

ここで、関数 f の連続条件の下で、上記の式を対応する積分方程式に変換することができます。

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{_{0}^{C}D_{t}^{-\alpha }}f(t,x(t))=x_{0}+{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f(s,x(s))\,ds}{(t-s)^{1-\alpha }}},}$

解空間を構築し、その方程式によって解空間上の連続的な自己写像を定義し、次に不動点定理を適用して、上記の方程式の解である 不動点を得ることができます。

上記の方程式の解の数値シミュレーションのために、カイ・ディーテルムは分数線形多段階アダムス・バッシュフォース法または求積法を提案した。^[7]

• 音響減衰
• 差分積分
• 分数計算
• フラクショナルオーダーコントロール
• 分数次積分器
• 分数シュレーディンガー方程式
• 分数量子力学

^[1]

• 自動制御とロボット工学における分数微積分の応用 分数微積分、分数次システム、分数次制御理論に関するチュートリアル。