ミッタク・レフラー分布

ミッタク・レフラー分布は、半直線上の確率分布の2つの族です。これらは実数またはによってパラメータ化されます。どちらも、 Gösta Mittag-Lefflerにちなんで名付けられたミッタク・レフラー関数で定義されます。^[1]${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

実部が正である任意の複素数に対して、級数は ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}}$

は完全な関数を定義します。 の場合、級数は半径 1 の円板上でのみ収束しますが、 まで解析的に拡張できます。 ${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$

ミッタグ・レフラー分布の最初のファミリーは、ミッタグ・レフラー関数と累積分布関数の関係によって定義されます。

すべての に対して、関数 は実数直線上で増加し、では に収束し、 になります。したがって、関数 は非負の実数上の確率測度の累積分布関数です。このように定義された分布、およびその倍数は、次数 のミッタク・レフラー分布と呼ばれます。 ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$${\displaystyle E_{\alpha}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$${\displaystyle \alpha}$

これらの確率分布はすべて絶対連続です。は指数関数なので、次数のミッタク・レフラー分布は指数分布です。しかし、 の場合、ミッタク・レフラー分布は裾が重く、 ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

${\displaystyle E_{\alpha }(-x^{\alpha })\sim {\frac {x^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}},\quad x\to \infty .}$

ラプラス変換は次のようになります。

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$

これは、 に対して期待値が無限大であることを意味します。さらに、これらの分布は幾何安定分布です。パラメータ推定の手順については、こちらをご覧ください。^{[2] [3]}${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

ミッタグ・レフラー分布の2番目のファミリーは、ミッタグ・レフラー関数とそのモーメント生成関数との関係によって定義されます。

すべての に対して、ある定数 に対して、確率変数が のミッタク・レフラー分布に従うとすると、 ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$${\displaystyle X_{\alpha}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),}$

ここで、収束は、 の場合には複素平面上のすべて、の場合には半径の円上のすべてを意味します。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1/C}$${\displaystyle \alpha =0}$

次数 のミッタグ レフラー分布は指数分布です。次数 のミッタグ レフラー分布は、正規分布ランダム変数の絶対値の分布です。次数 のミッタグ レフラー分布は退化分布です。ミッタグ レフラー分布の最初のファミリーとは対照的に、これらの分布は裾が重くありません。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 1}$

これらの分布は、マルコフ過程の局所時間との関係でよく見られます。