ゲルム（数学）

数学において、位相空間における対象の芽の概念は、その対象と、同じ種類の他の対象との同値類であり、それらの共通の局所的性質を捉えるものです。特に、問題となる対象は、主に関数（または写像）と部分集合です。この考え方の具体的な実装では、問題となる関数や部分集合は、解析的である、滑らかであるといった何らかの性質を持ちますが、一般には必ずしもそうではありません（問題となる関数は連続である必要さえありません）。ただし、 「局所的」という言葉に意味を持たせるためには、対象が定義される空間が位相空間であることが必要です。

名前

その名称は穀物の胚芽に由来しており、穀物の束という比喩の延長線上にある。胚芽は（局所的には）機能の「心臓部」であり、穀物にとっての心臓部である。

正式な定義

基本的な定義

位相空間Xの点xと 2 つの写像が与えられたとき $f,g:X\to Y$ （Yは任意の集合である）ならば $f$ そして $g$ xの近傍Uが存在し、Uに制限するとfとgが等しくなる場合、 xで同じ芽を定義する。つまり、 $f(u)=g(u)$ U内のすべてのuについて。

同様に、SとTがXの任意の 2 つの部分集合である場合、xの近傍U が存在して、

S\cap U=T\cap U.

これは、 SとTをそれぞれの指示関数と同一視することによって、上記の基本定義の応用として理解できます。 $\displaystyle \mathbf {1} _{S}:X\rightarrow \{0,1\}}$ そして $\displaystyle \mathbf {1} _{T}:X\rightarrow \{0,1\}}$ 。

xにおいて同じ芽を定義することは同値関係であることは容易に理解でき（マップ上でもセット上でも）、同値類は芽（マップ芽、セット芽とも呼ばれる）と呼ばれる。同値関係は通常次のように記述される。

f\sim _{x}g\quad {\text{または}}\quad S\sim _{x}T.

X上の写像fが与えられたとき、xにおけるその芽は通常 [ f ] _xと表記される。同様に、集合Sのxにおける芽は [ S ] _xと表記される。したがって、

[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.

Xの点xをYの点 y に写像する、 Xの点xにおける写像芽は次のように表される。

f:(X,x)\to (Y,y).

この表記法を用いる場合、fはマップの同値類全体を表すものとし、どの代表的なマップにも同じ文字fを用いる。

2つの集合がxにおいて胚芽同値であるのは、それらの特性関数がxにおいて胚芽同値である場合に限ることに注意してください。

S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.

より一般的に

マップはX全体で定義されている必要はなく、特に同じドメインを持つ必要もありません。ただし、fのドメインがSで、gのドメインがTで、どちらもXの部分集合である場合、まずSとTがxで芽同値であれば、 fとgはXのxで芽同値です。 $S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,$ そしてさらに $f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}$ より小さな近隣Vの場合 $x\in V\subseteq U$ これは特に以下の2つの状況において重要である。

fはXの部分多様体V上で定義され、
fはxに何らかの極を持つため、例えば部分多様体上で定義される有理関数のように、 xで定義されません。

基本特性

fとgがxにおいて芽同値であれば、連続性や微分可能性などの局所的な性質をすべて共有するため、微分可能芽や解析的芽などについて議論するのは理にかなっています。部分集合についても同様です。芽の代表の1つが解析的集合であれば、少なくともxの近傍では、すべての代表も解析的集合となります。

対象Y上の代数構造は、 Yに値を持つ芽の集合に継承されます。たとえば、対象Yが群である場合、芽を乗算するのが理にかなっています。[ f ] _x [ g ] _xを定義するには、まず近傍UとV上でそれぞれ定義された代表元fとgを取り、[ f ] _x [ g ] _{x を}点ごとの積写像fg (上で定義)のxにおける芽として定義します。 $U\cap V$ 同様に、Yがアーベル群、ベクトル空間、または環である場合、芽の集合もアーベル群、ベクトル空間、または環になります。

XからYへの写像のxにおける芽の集合は、離散的なものを除いて、有用な位相を持ちません。したがって、収束する芽の列について語ることはほとんど意味がありません。しかし、 XとY が多様体である場合、ジェットの空間は $J_{x}^{k}(X,Y)$ (map(-germs) のxにおける有限次テイラー級数は、有限次元ベクトル空間と同一視できるため、位相構造を持ちます。

束との関係

胚芽の概念は、束と前束の定義の背後にある。前束 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 位相空間X上のアーベル群はアーベル群を割り当てる $\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ Xの各開集合Uに対して。ここでのアーベル群の典型的な例は、U上の実数値関数、U上の微分形式、U上のベクトル場、U上の正則関数( Xが複素多様体の場合)、U上の定数関数、U上の微分作用素です。

もし $V\subseteq U$ すると制限マップがあります $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ 特定の互換性条件を満たす。固定されたxに対して、要素は $f\in {\mathcal {F}}(U)$ そして $g\in {\mathcal {F}}(V)$ 近傍が存在する場合、xにおいて同等である $W\subseteq U\cap V$ xのres _WU ( f ) = res _WV ( g ) (両方の要素 ${\mathcal {F}}(W)$ 同値類は茎を形成する。 ${\mathcal {F}}_{x}$ 前層のxにおいて $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ この同値関係は、上述の胚芽同値関係を抽象化したものである。

芽を層を通して解釈することで、芽の集合上に代数構造が存在することに対する一般的な説明も得られます。その理由は、茎の形成が有限の極限を保存するからです。これは、Tがローヴェア理論であり、層FがT代数である場合、任意の茎F _xもT代数であることを意味します。

例

もし $X$ そして $Y$ 追加の構造を持つ場合、 XからYへのすべての写像の集合の部分集合、あるいはより一般的には、与えられた前層のサブ前層を定義することが可能です。 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ そしてそれに対応する細菌：注目すべき例をいくつか以下に挙げる。

もし $X,Y$ どちらも位相空間であり、部分集合は

C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)

連続関数の定義は、連続関数の芽を定義します。

両方 $X$ そして $Y$ 微分可能な構造を許容する部分集合

C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)

の

k

連続的に微分可能な関数のサブセット

C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)

滑らかな関数と部分集合

C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)

解析関数の定義が可能（

\omega

ここに無限の序数があります。これは、次の例えによる表記の濫用です。

C^{k}

そして

\displaystyle C^{\infty }}

)、そして、(有限)微分可能で滑らかな解析関数の芽の空間を構築することができる。

もし $X,Y$ が複雑な構造を持つ場合（例えば、複素ベクトル空間の部分集合である場合）、それらの間の正則関数を定義することができ、したがって正則関数の芽の空間を構築することができる。
もし $X,Y$ 代数構造を持つ場合、それらの間の正則関数（および有理関数）を定義することができ、正則関数（および同様に有理関数）の芽を定義することができる。
芽 $f:\mathbb {R} \rightarrow Y$ $正の無限大（または単にf$ の芽）では $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$ これらの胚芽は漸近解析やハーディ場で使用される。

表記法

束の茎 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 位相空間上 $X$ ある時点で $x$ の $X$ は一般的に次のように表される $\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}.}$ その結果、様々な種類の関数の束を構成する芽は、この表記法を採用する。

$\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{0}}$ is the space of germs of continuous functions at $x$ .
${\mathcal {C}}_{x}^{k}$ for each natural number $k$ is the space of germs of $k$ -times-differentiable functions at $x$ .
$\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\infty }}$ is the space of germs of infinitely differentiable ("smooth") functions at $x$ .
$\displaystyle {\mathcal {C}}_{x}^{\omega }}$ is the space of germs of analytic functions at $x$ .
${\mathcal {O}}_{x}$ is the space of germs of holomorphic functions (in complex geometry), or space of germs of regular functions (in algebraic geometry) at $x$ .

For germs of sets and varieties, the notation is not so well established: some notations found in literature include:

${\mathfrak {V}}_{x}$ is the space of germs of analytic varieties at $x$ . When the point $x$ is fixed and known (e.g. when $X$ is a topological vector space and $x=0$ ), it can be dropped in each of the above symbols: also, when $\dim X=n$ , a subscript before the symbol can be added. As example
${_{n}{\mathcal {C}}^{0}}、{_{n}{\mathcal {C}}^{k}}、{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }}、{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }}、{_{n}{\mathcal {O}}}、{_{n}{\mathfrak {V}}}$ are the spaces of germs shown above when $X$ is a $n$ -dimensional vector space and $x=0$ .

Applications

The key word in the applications of germs is locality: all local properties of a function at a point can be studied by analyzing its germ. They are a generalization of Taylor series, and indeed the Taylor series of a germ (of a differentiable function) is defined: you only need local information to compute derivatives.

Germs are useful in determining the properties of dynamical systems near chosen points of their phase space: they are one of the main tools in singularity theory and catastrophe theory.

When the topological spaces considered are Riemann surfaces or more generally complex analytic varieties, germs of holomorphic functions on them can be viewed as power series, and thus the set of germs can be considered to be the analytic continuation of an analytic function.

Germs can also be used in the definition of tangent vectors in differential geometry. A tangent vector can be viewed as a point-derivation on the algebra of germs at that point.^[1]

Algebraic properties

As noted earlier, sets of germs may have algebraic structures such as being rings. In many situations, rings of germs are not arbitrary rings but instead have quite specific properties.

Xを何らかの空間とします。多くの場合、各x ∈ Xにおいて、 xにおける関数の芽の環は局所環となります。これは、例えば、位相空間上の連続関数、実多様体上のk回微分可能、滑らか、または解析的な関数 (そのような関数が定義されている場合)、複素多様体上の正則関数、および代数多様体上の正則関数の場合に当てはまります。芽の環が局所環であるという性質は、局所環空間の理論によって公理化されています。

しかし、出現する局所環の種類は、考察対象の理論に大きく依存する。ワイエルシュトラスの準備定理によれば、正則関数の芽の環はネーター環である。また、これらは正則環であることも示せる。一方、 ${\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )$ R上の滑らかな関数の原点における芽の環をとする。この環は局所的であるが、ネーター的ではない。その理由を理解するために、この環の最大イデアルmは原点でゼロになるすべての芽からなり、べき乗m ^kは最初のk − 1 階微分がゼロになる芽からなることを観察すればよい。この環がネーター的であれば、クルルの交差定理によれば、テイラー級数がゼロになる滑らかな関数は零関数になるはずである。しかし、これは誤りである。次の例を考えてみればわかる。

f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}

この環は一意分解整域でもない。これは、すべての一意分解整域が主イデアルの昇鎖条件を満たすが、主イデアルの昇鎖は無限に存在するためである。

\cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .

xは最大イデアルmに含まれるため、包含関係は厳密です。

指輪 ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ R上の連続関数の原点にある芽は、その最大イデアルm がm ² = mを満たすという性質も持ちます。任意の芽f ∈ m は次のように書くことができます。

f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},

ここで sgn は符号関数です。| f | は原点でゼロになるため、これはf をmの 2 つの関数の積として表し、そこから結論が得られます。これは、ほぼ環理論の設定に関連しています。

参考文献

↑ Tu, LW (2007). An Introduction to Manifolds . New York: Springer. p. 11.

ニコラ・ブルバキ(1989)。一般的なトポロジ。第 1 章から第 4 章まで(文庫版)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-64241-2。第1章、第6項、第10節「一点における細菌」。
ラガヴァン・ナラシムハン（1973）。『実多様体および複素多様体の解析』（第2 版）。ノースホランド・エルゼビア。ISBN 0-7204-2501-8。第2章、第2.1項「基本定義」。
ロバート・C・ガニングとヒューゴ・ロッシ（1965）。多変数複素数の解析関数。プレンティス・ホール。第2章「正則関数の局所環」、特にA節「局所環の基本的な性質」およびE節「多様体の萌芽」を参照。
イアン・R・ポーテウス（2001）『幾何微分』 71ページ、ケンブリッジ大学出版局 ISBN 0-521-00264-8。
ジュゼッペ・タリーニ (1973)。Varietà Differentenziabili e coomologia di De Rham (微分多様体と De Rham コホモロジー)。エディツィオーニ・クレモネーゼ。ISBN 88-7083-413-1。、段落31、「プントのGermi di funzioni Differentenziabili 」 $P$ ダイ $V_{n}$ （ある点における微分可能な関数の芽） $P$ の $V_{n}$ ）「（イタリア語で）」

外部リンク

チルカ、エフゲニー・ミハイロヴィチ (2001) [1994]、「ゲルマ」、数学百科事典、EMS Press
PlanetMathにおける滑らかな関数の萌芽。
Mozyrska, Dorota; Bartosiewicz, Zbigniew (2006). "無限次元空間における芽のシステムと零点の定理". arXiv : math/0612355 .無限次元空間における解析的多様体の芽を扱った研究プレプリント。

[1] Tu, LW (2007). An Introduction to Manifolds . New York: Springer. p. 11.

[1]