複素平面

複素解析では、複素数は通常、記号zで表され、これは実部 ( x ) と虚部 ( y )に分けられます。

$${\displaystyle z=x+iy}$$

例えば、z = 4 + 5 iのように表されます。ここで、xとyは実数、iは虚数単位です。この慣習的な表記では、複素数zはデカルト座標系上の点( x , y )に対応します。点( x , y )は極座標でも次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}$$

デカルト座標系では、アークタンジェント関数の値域は（−π/2, π/2）（ラジアン単位）と仮定できますが、 x ≤ 0の場合、点（x , y）に対するより完全なアークタンジェント関数を定義するには注意が必要です。^{[注1 ]}複素座標系では、これらの極座標は次の形式をとります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=|z|\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\&=|z|e^{i\theta }\end{aligned}}}$$

^[注^{2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}|z|&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arg(z)\\&={\frac {1}{i}}\ln {\frac {z}{|z|}}\\&=-i\ln {\frac {z}{|z|}}.\end{aligned}}}$$

ここで、| z |は複素数zの絶対値または絶対値です。θはzの引数で、通常は0 ≤ θ < 2πの範囲で取られます。最後の等式 ( | z | e ^iθまで) はオイラーの公式から取られています。θの範囲に制約がない場合、複素指数関数は周期2πiの周期関数であるため、 zの引数は多価になります。したがって、θがarg( z )の 1 つの値である場合、他の値はarg( z ) = θ + 2nπで与えられます。ここでnは任意のゼロでない整数です。^{[ 2 ]}

明示的に用いられることは稀であるが、複素数の幾何学的観点は、暗黙のうちに2次元ユークリッドベクトル空間 の構造に基づいており、複素数wとzの内積は次のように表される。${\displaystyle \Re (w{\overline {z}})}$すると、複素数zの絶対値| z |はユークリッドノルムと一致し、引数arg( z )は 1 からz に変わる角度と一致します。 

複素解析において、経路積分理論は重要な部分を占めています。この文脈では、閉曲線に沿って移動する方向が重要になります 。曲線をたどる方向を反転すると、積分の値は−1倍になります。慣例として、正の方向は反時計回りです。例えば、単位円を正の方向にたどるというのは、点z = 1から出発し、点z = iを通って左上に移動し、次に−1を通って左下に移動し、次に− iを通って右下に移動し、最後に出発点であるz = 1に戻って右上に移動する場合です。

複素解析のほぼすべては複素関数 、すなわち複素平面のある部分集合を別の（重なり合う、あるいは同一の）部分集合に写像する関数に関係しています。ここでは、f ( z )の定義域はz平面上にあると言い、f(z) の値域は w 平面上の点の集合とするのが一般的です。記号では次のように書きます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\f(z)&=w\\&=u+iv\end{aligned}}}$$

そして、関数fは、 z平面 (座標( x , y ) ) からw平面 (座標( u , v ) )への変換として考えられることが多い。

複素平面は次のように表される。${\displaystyle \mathbb {C} }$。

単純な2値関係を考えてみましょう

$${\displaystyle w=f(z)=\pm {\sqrt {z}}=z^{1/2}.}$$

この関係を単値関数として扱うためには、結果として得られる値の範囲を何らかの方法で制限する必要があります。非負の実数の平方根を扱う場合、これは簡単にできます。たとえば、次のように定義すればよいでしょう。

$${\displaystyle y=g(x)={\sqrt {x}}=x^{1/2}}$$

y は、 y ² = xを満たす非負の実数yである。この考え方は、2 次元複素平面ではあまりうまく機能しない。その理由を理解するために、点z が単位円の周りを移動するときのf ( z )の値の変化について考えてみよう。次のように書ける。${\textstyle z=re^{i\theta }}$そして、 $${\displaystyle {\begin{aligned}w&=z^{1/2}\\&={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2},\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .\end{aligned}}}$$

明らかに、z が円を一周すると、w は円の半分しか描きません。したがって、複素平面上の 1 つの連続的な動きによって、正の平方根e ⁰ = 1が負の平方根e ^iπ = −1に変換されます。

この問題は、点z = 0には平方根が 1 つしかないのに対し、他のすべての複素数z ≠ 0にはちょうど 2 つの平方根があることから生じます。実数直線では、単一の点x = 0に「障壁」を設けることでこの問題を回避できます。複素平面では、閉じた輪郭が分岐点z = 0を完全に囲まないようにするために、より大きな障壁が必要です。これは通常、分岐カットを導入することによって行われます。この場合、「カット」は点z = 0から正の実軸に沿って無限遠点ま​​で伸び、カット平面内の変数zの引数が0 ≤ arg( z ) < 2 πの範囲に制限されます。

これでw = z ^1/2の完全な記述を与えることができます。そのためには、 z平面の 2 つのコピーが必要で、それぞれが実軸に沿って切断されます。一方のコピーでは 1 の平方根をe ⁰ = 1と定義し、もう一方のコピーでは 1 の平方根をe ^iπ = −1と定義します。これら 2 つの完全な切断平面のコピーをシートと呼びます。連続性の議論を行うと、(現在は一価の) 関数w = z ^1/2は、最初のシートをw平面の上半分(0 ≤ arg( w ) < π)に写像し、2 番目のシートをw平面の下半分( π ≤ arg( w ) < 2 π ) に写像することがわかります。^{[ 6 ]}

この例の分岐線は実軸に沿っている必要はなく、直線である必要もありません。原点z = 0と無限遠点を結ぶ連続曲線であればどれでも構いません。場合によっては、分岐線が無限遠点を通る必要さえありません。例えば、次の関係を考えてみましょう。

$${\displaystyle w=g(z)=\left(z^{2}-1\right)^{1/2}.}$$

ここで、多項式z ² − 1 はz = ±1のときにゼロになるため、g には明らかに 2 つの分岐点があります。実軸に沿って−1から1まで平面を「切断」して、 g ( z )が一価関数となるシートを得ることができます。あるいは、切断はz = 1から正の実軸に沿って無限遠点ま​​で進み、その後負の実軸に沿って「上」に進んでもう一方の分岐点z = −1に到達することもできます。

この状況は、上述の立体投影法を用いることで最も容易に視覚化できる。球面上では、これらの切断線の一つが南半球を縦方向に走り、赤道上の点（z = −1）と赤道上の別の点（z = 1）を結び、その途中で南極（原点、z = 0）を通過する。もう一つの切断線は北半球を縦方向に走り、同じ2つの赤道上の点を北極（すなわち無限遠点）を通過することで結び付ける。

有理型関数とは、定義域の有限個または可算無限個の点を除いて、正則かつ解析的な複素関数である。 ^{[注4 ]}このような関数が定義できない点を、有理型関数の極と呼ぶ。これらの極がすべて一直線上にある場合もある。その場合、数学者はその関数を「切断面上で正則である」と言うことがある。例：

ガンマ関数は、次のように定義される。

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]}$$

ここでγはオイラー・マスケローニ定数であり、z = 0または負の整数のとき、無限積の分母のうちちょうど 1 つがゼロになるため、0、-1、-2、-3、...に単純極を持ちます。 ^{[注 5 ]}すべての極がz = 0から無限遠点ま​​での負の実軸上にあるため、この関数は「切断面上で正則であり、切断面は 0 (含む) から無限遠点ま​​で負の実軸に沿って伸びている」と表現できます。

あるいは、Γ( z )は「 −π < arg( z ) < πを満たす切断面において正則であり、点z = 0を除く」と表現することもできる。

この切断は、すでに説明した「分岐切断」とは少し異なり、実際には負の実軸を切断面から除外します。分岐切断では、実軸は片側（0 ≤ θ）で切断面と接続されたままですが、もう一方の側（θ < 2 π）では切断面から切り離されます。

もちろん、 Γ( z )が正則となる領域を構成するために、z = 0から−∞までの線分全体を除外する必要は実際にはありません。実際に行う必要があるのは、可算無限個の点{0, −1, −2, −3, ...}で平面に穴を開けることだけです。しかし、穴を開けた平面内の閉じた経路は、 Γ( z )の極の1つ以上を囲む可能性があり、留数定理により、経路積分は必ずしもゼロになるとは限りません。複素平面を切断することで、この制限された領域でΓ( z )が正則になるだけでなく、切断された平面内にある任意の閉曲線上のガンマ関数の経路積分が恒等的にゼロになることも保証されます。 

多くの複素関数は、無限級数または連分数によって定義されます。これらの無限に長い式を解析する際の基本的な考慮事項は、それらが有限値に収束する複素平面上の領域を特定することです。以下の例が示すように、平面を切断することでこのプロセスが容易になる場合があります。

無限級数で定義される関数を考えてみましょう。

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(z^{2}+n\right)^{-2}.}$$

複素数zに対してz ² = (− z ) ²であることから、 f ( z )はzの偶関数であることは明らかであり、したがって解析は複素平面の半分に限定できる。また、級数は次の場合に定義されない。

$${\displaystyle z^{2}+n=0\quad \iff \quad z=\pm i{\sqrt {n}},}$$

zが純虚数の場合のf ( z )を調べるというより困難な作業に着手する前に、平面を虚軸全体に沿って切断し、 zの実部がゼロでない範囲でこの級数の収束を確立することが理にかなっている。 ^{[注6 ]}

この例では、無限和が定義されない点は孤立しているため、切断面は単なる便宜上のものであり、切断面は適切な穴が開けられた平面に置き換えることができます。しかし、状況によっては、切断は便宜上ではなく、必要不可欠な場合もあります。無限周期連分数を考えてみましょう。

$${\displaystyle f(z)=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}。$$

z がz < − 1 ⁄ 4となるような負の実数でない場合、 f ( z )は有限値に収束することが示せる。言い換えれば、この連分数の収束領域は切断面であり、切断面は − 1 ⁄ 4から無限遠点ま​​で負の実軸に沿って走っている。^{[ 8 ]}

• フラニガン、フランシス・J. (1983).複素変数：調和関数と解析関数. ドーバー出版. ISBN 0-486-61388-7。
• モレッティ、ジーノ（1964）。複素変数の関数。プレンティス・ホール。
• Wall, HS (1948).連分数の解析理論. D. Van Nostrand Company.チェルシー出版より1973年に再版ISBN 0-8284-0207-8。
• ウィテカー、ET；ワトソン、GN（1927）。現代解析学講座（第4 版）。ケンブリッジ大学出版局。