シュライアー剰余類グラフ

組合せ群論と呼ばれる数学の分野において、シュライアー剰余類グラフは、群G 、 Gの生成集合S = { s _i  : i in I } 、および部分群H ≤ Gに関連付けられたグラフです。シュライアーグラフは、剰余類によって形成される同値関係を法とする群の抽象構造をエンコードします。

このグラフは「 Nebengruppenbild 」という用語を使用したオットー・シュライアーにちなんで名付けられました。^[1]同等の定義はトッドとコクセターの初期の論文で行われました。 ^[2]

群 G、部分群 H、および生成集合 S⊆G のシュライアーグラフは、Sch(G,H,S)またはSch(H\G,S)と表記されます。その頂点は、 gがGに属する場合の右剰余類 Hg = { hg  : h in H } であり、辺は、 gがGに属し、sがSに属する場合の形式 ( Hg , Hgs )です。

より一般的には、 X がG 集合である場合、（S⊆G に関して）G の X への作用のシュライアーグラフは、 Sch(G,X,S)またはSch(X,S) と表記されます。その頂点は X の要素であり、その辺は、Xに含まれるxおよびSに含まれるsに対して、(x,xs) の形式です。これには、H\G が右からの乗算に関して自然に G 集合であるため、元のシュライアー剰余類グラフの定義が含まれます。代数的位相的観点から、グラフSch(X,S)には区別される頂点がありませんが、Sch(G,H,S)には区別される頂点Hがあり、したがって尖ったグラフです。

群Gのケイリーグラフ自体は、 H = {1 _G }のシュライア剰余類グラフである（Gross & Tucker 1987、p. 73）。

シュライアー剰余類グラフのスパニング ツリーは、シュライアーの部分群補題(Conder 2003) のように、シュライアー トランスバーサルに対応します。

以下に挙げる書籍「Categories and Groupoids」では、これを群体の被覆射の理論に関連付けています。群Gの部分群Hは群体の被覆射を決定し 、S がGの生成集合である場合、 pによるその逆像は( G , S )のシュライアー グラフです。 ${\displaystyle p:K\rightarrow G}$

このグラフは剰余類列挙とトッド・コクセターアルゴリズムを理解するのに役立ちます。

コセットグラフは、グループの大きな順列表現を形成するために使用でき、十分に大きい次数の交代グループがハーウィッツグループであることを示すためにグラハム・ヒグマンによって使用されました(Conder 2003)。

スタリングスのコアグラフ^{[3]は自由群のシュライアーグラフを}縮小したもので、自由群の部分群を計算するための重要なツールである。

すべての頂点推移グラフは剰余類グラフです。

• マグナス、W.; カラス、A.; ソリター、D. (1976)、組合せ群論、ドーバー
• Conder, Marston (2003)、「最大対称性を持つグラフ、マップ、およびサーフェス上のグループアクション」、Groups St. Andrews 2001 in Oxford。第 1 巻、London Math. Soc. Lecture Note Ser.、第 304 巻、Cambridge University Press、pp. 63–91、MR  2051519
• グロス、ジョナサン L.; タッカー、トーマス W. (1987)、「トポロジカル グラフ理論」、Wiley-Interscience シリーズ、離散数学と最適化、ニューヨーク: John Wiley & Sons、ISBN 978-0-471-04926-5、MR  0898434
• Basilica グループのシュライヤー グラフ 著者: Daniele D'Angeli、Alfredo Donno、Michel Matter、Tatiana Nagnibeda
• フィリップ・J・ヒギンズ『カテゴリーと群』、ヴァン・ノストランド、ニューヨーク、講義ノート、1971年、TAC復刻版として再出版、2005年