ローズ（トポロジー）

数学において、バラ（ n個の円の花束とも呼ばれる）は、一点に沿って円の集合を貼り合わせることで得られる位相空間です。バラの円は花びらと呼ばれます。バラは代数的位相幾何学において重要であり、自由群と密接に関連しています。

意味

バラは円のくさびの和です。つまり、バラは商空間C / Sです。ここで、 C は円の非結合和であり、S は各円の 1 つの点からなる集合です。セル複合体として、バラには 1 つの頂点と、各円ごとに 1 つの辺があります。これにより、バラは位相グラフの簡単な例になります。

n 枚の花びらを持つバラは、単一の円上のn 個の点を特定することによっても得られます。2 枚の花びらを持つバラは、 8 の字として知られています。

バラの基本群は自由で、花びらごとに1 つの生成元があります。普遍被覆は無限木であり、自由群のケーリーグラフと同一視できます。(これは、群の任意の表現に関連付けられた表現複合体の特殊なケースです。)

バラの中間被覆は自由群の部分群に対応する。バラの任意の被覆がグラフであるという観察は、自由群のすべての部分群が自由であるという簡単な証明を提供する（ニールセン・シュライアーの定理）

バラの普遍被覆は収縮可能であるため、バラは実際には関連する自由群Fのアイレンバーグ・マクレーン空間である。これは、コホモロジー群H ⁿ ( F ) がn ≥ 2 に対して自明であることを意味する。

連結グラフはバラとホモトピー同値です。具体的には、バラは全域木を折りたたむことで得られるグラフの商空間です。
n 個の点が削除された円盤(またはn + 1 個の点が削除された球)の変形は、n枚の花びらを持つバラの形に収縮します。バラの花びら 1 枚は、削除された各点を囲みます。
1 点を除去した変形を伴うトーラスは、8 の字、つまり 2 つの生成円の和集合に収縮します。より一般的には、1 点を除去した変形を伴う種数 gの曲面は、2 つのg枚の花びらを持つバラ、つまり基本多角形の境界に収縮します。
バラは無限に多くの花びらを持つことができ、無限に多くの生成元上で自由な基本群につながります。可算無限に多くの花びらを持つバラは、ハワイアンイヤリングに似ています。このバラからハワイアンイヤリングへの連続的な一対一写像がありますが、この 2 つは同相ではありません。無限に多くの花びらを持つバラはコンパクトではありませんが、ハワイアンイヤリングはコンパクトです。