SQ-普遍群

数学の群論の領域では、可算群はすべてその商群の 1 つに埋め込むことができる場合、その可算群はSQ 普遍的であるといわれます。SQ 普遍性は、群の大きさや複雑さの尺度として考えることができます。

歴史

1949 年に遡る組合せ群論の多くの古典的な結果は、現在では特定の群または群のクラスが SQ ユニバーサルであると解釈されています。ただし、この用語が最初に明示的に使用されたのは、 1968 年 5 月 23 日にピーターノイマンがロンドン代数コロキウムで行った「SQ ユニバーサル群」と題する講演のようです。

SQ普遍群の例

1949 年に、グラハム・ヒグマン、ベルンハルト・ノイマン、ハンナ・ノイマンは、すべての可算群は 2 つの生成元を持つ群に埋め込むことができることを証明しました。^[1] SQ 普遍性の現代の言語を使用すると、この結果は、 2 つの生成元上の自由群(非可換群) F _{2 が}SQ 普遍であることを示しています。これは、SQ 普遍群の最初の例です。現在では、さらに多くの例が知られています。

非自明な捩れのない群に2つの生成元と1つの任意の関係子を追加すると、常にSQ普遍群が得られる。^[2]
適切な部分群の集合に関して双曲的である任意の非基本群はSQ普遍的である。 ^[3]
多くのHNN拡張機能、無料製品、合併による無料製品。^[4]^[5]^[6]
4世代コクセターグループとプレゼンテーション：^[7]

P=\left\langle a,b,c,d\,|\,a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(ab)^{3}=(bc)^{3}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(cd)^{3}=(bd)^{3}=1\right\rangle

チャールズ・F・ミラー3世による有限に提示されたSQ普遍群の例。その非自明な商はすべて解けない単語問題を持つ。^[8]

さらに、ヒグマン-ノイマン-ノイマン定理のより強力なバージョンが現在知られています。Ould Houcine は以下を証明しました。

任意の可算群Gに対して、 2生成元SQ普遍群Hが存在し、GはHの任意の非自明な商に埋め込むことができる。^[9]

SQ普遍群のいくつかの基本的性質

例えば、可算な数のジェネレータh ₁、h ₂、...、h _n 、...上の自由群は、 SQ 普遍群Gの商に埋め込み可能でなければなりません。がすべてのnに対してとなるように選択される場合、それらはGの自由部分群を自由に生成する必要があります。したがって、 $h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\dots \in G$ $h_{n}^{*}\mapsto h_{n}$

すべての SQ 普遍群には、可算な数のジェネレータ上の自由群がサブグループとして存在します。

すべての可算群は可算単純群に埋め込むことができるため、単純群の埋め込みを考慮するだけで十分な場合がよくあります。この観察により、SQ普遍群に関するいくつかの基本的な結果を簡単に証明できます。たとえば、

G がSQ 普遍群であり、N がGの正規部分群(つまり)である場合、 N はSQ 普遍であるか、商群G / Nは SQ 普遍です。

N\triangleleft G

これを証明するには、Nが SQ ユニバーサルでないと仮定します。すると、Nの商群に埋め込むことのできない可算群Kが存在します。H を任意の可算群とすると、直積H × Kも可算となり、したがって可算単純群Sに埋め込むことができます。ここで、仮定により、Gは SQ ユニバーサルなので、S はGの商群G / Mなどに埋め込むことができます。第 2同型定理は、次のことを示しています。

MN/M\cong N/(M\cap N)

ここで、S はG / Mの単純な部分群なので、次のいずれかになります。 $MN/M\triangleleft G/M$

MN/M\cap S\cong 1

または：

S\subseteq MN/M\cong N/(M\cap N)

。

後者は真ではあり得ません。なぜなら、Kの選択に反して、K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N /( M ∩ N ) を意味するからです。したがって、S は( G / M )/( MN / M )に埋め込むことができ、これは第 3同型定理によりG / MNと同型であり、これは ( G / N )/( MN / N )と同型です。したがって、S はG / Nの商群に埋め込まれており、H ⊆ S は任意の可算群であるため、 G / Nは SQ 普遍的であることがわかります。

群G内の有限指数の部分群 H はすべて、同じくG内の有限指数の正規部分群Nを含むので、^[10]容易に次のことが導かれる。

群GがSQ普遍的であれば、Gの任意の有限指数部分群HもSQ普遍的である。この命題の逆も真である。^[11]

SQ普遍性の変種と一般化

文献には SQ 普遍性のさまざまなバリエーションが存在します。この分野の用語はまだ完全に安定していないため、このセクションを読む際にはこの点に留意してください。

を群のクラスとします。(このセクションでは、群は同型まで定義されます) 群Gがクラスにおいて SQ-普遍的であるとは、であり、のすべての可算群がGの商の部分群と同型であるときです。次の結果が証明できます。 ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ $G\in {\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$

n , m ∈ Z（ただしmは奇数、m > 1）とし、B ( m , n ) を自由 m 生成バーンサイド群とすると、B ( m , n )のすべての非巡回部分群は指数nの群のクラスにおいて SQ 普遍的である。

n>10^{78}

を群のクラスとします。内のすべての群がGの商の部分群に同型である場合、群Gはクラスに対して SQ 普遍的であると呼ばれます。という要件も、任意の群が可算である要件もないことに注意してください。 ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ $G\in {\mathcal {P}}$

SQ 普遍性の標準的な定義は、可算群のクラス内と可算群のクラスの両方におけるSQ 普遍性と同等です。

可算群Gが与えられたとき、 Hのすべての非自明因子群にGのコピーが含まれる場合、 SQ 普遍群H を G安定と呼びます。が、あるGに対してG安定である有限生成 SQ 普遍群のクラスであるとすると、 Houcine バージョンの HNN 定理は次のように言い換えることができます。 ${\mathcal {G}}$

2 つの生成元上の自由群はに対して SQ 普遍です。

{\mathcal {G}}

しかし、有限生成群は無数に存在し、可算群は有限生成部分群を可算な数だけ持つことができます。このことから次のことが簡単にわかります。

では、どのグループも SQ 普遍になることはできません。

{\mathcal {G}}

無限群のクラスは、任意の群が与えられたときに単純群Sと、 FとGがSに埋め込まれ、S がHに埋め込まれるような群が存在する場合、ラップ可能です。これは簡単に証明できます。 ${\mathcal {P}}$ $F,G\in {\mathcal {P}}$ $H\in {\mathcal {P}}$

がグループのラップ可能なクラスである場合、 G はの SQ ユニバーサルであり、N はのSQ ユニバーサルであるか、G / N はの SQ ユニバーサルです。

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

N\triangleleft G

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

がグループのラップ可能なクラスであり、H がGにおいて有限のインデックスを持つ場合、G がクラスに対して SQ ユニバーサルであるためには、H がに対して SQ ユニバーサルである必要があります。

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

wrappable クラスを定義する動機は、ブーン・ヒグマン定理などの結果から来ています。この定理は、可算群Gが単語問題を解けるのは、有限に提示された群Fに埋め込むことができる単純群Sに埋め込むことができる場合のみであるとしています。Houcine は、群F も単語問題を解けるように構成できることを示しました。これと、2 つの群の直積を取ると単語問題の解ける可能性が維持されるという事実を合わせると、次のことがわかります。

解決可能な単語問題を持つすべての有限提示群のクラスはラップ可能です。

ラップ可能なグループのクラスの他の例は次のとおりです。

有限群のクラス。
ねじれのない群のクラス。
可算な捩れ自由群のクラス。
与えられた無限基数のすべてのグループのクラス。

クラスがラップ可能であるという事実は、任意のグループがに対して SQ ユニバーサルであることを意味するものではありません。たとえば、のメンバーに対して何らかのカーディナリティ制限が必要であることは明らかです。 ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$

「SQ ユニバーサル」の定義で「の商の部分群に同型」という語句を「の部分群に同型」に置き換えると、より強力なS ユニバーサル(それぞれについて/ における S ユニバーサル ${\mathcal {P}}$ ) の概念が得られます。ヒグマン埋め込み定理は、すべての有限提示群のコピーを含む有限提示群が存在することを証明するために使用できます。が、解決可能な文章問題を持つすべての有限提示群のクラスである場合、内のグループについて文章問題を解くための統一アルゴリズムは存在しないことが分かっています。証明は予想ほど簡単ではありませんが、内のどのグループも内のすべてのグループのコピーを含むことはできません。しかし、任意の SQ ユニバーサル群はに対してより強力なSQ ユニバーサルであることは明らかです。を有限提示群のクラスとし、F _{2 を}2 つの生成元上の自由群とすると、これを次のようにまとめることができます。 ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {F}}$

F _{2 は}、およびにおいて SQ 普遍です。 ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {W}}$
には S 普遍的な群が存在します。 ${\mathcal {F}}$
では S 普遍的なグループは存在しません。 ${\mathcal {W}}$

以下の質問は未解決です (2 番目の質問は 1 番目の質問を意味します)。

SQ-普遍ではないが、に対して SQ-普遍である可算群はありますか? ${\mathcal {W}}$
SQ-普遍ではないが、では SQ-普遍である可算群はありますか? ${\mathcal {W}}$

F ₂が SQ 普遍であることを証明するのは非常に難しいですが、有限群のクラスに対してSQ 普遍であるという事実は、次の 2 つの事実から簡単にわかります。

有限集合上のすべての対称群は2つの要素によって生成できる。
すべての有限群は対称群の中に埋め込むことができます。自然なのはケーリー群で、これはこの群に有限集合として作用する対称群です。

他のカテゴリーにおけるSQ普遍性

がカテゴリでがのオブジェクトのクラスである場合、に対するSQ ユニバーサルの定義は明らかに意味をなします。が具体的なカテゴリである場合、における SQ ユニバーサルの定義も意味をなします。群論の場合と同様に、の可算オブジェクトのクラスとの両方に対してSQ ユニバーサルであるオブジェクトに対して、SQ ユニバーサルという用語を使用します。 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {C}}$

多くの埋め込み定理は、SQ 普遍性という観点から言い換えることができます。有限次元または可算次元のリー代数を2 生成子リー代数に埋め込むことができるという Shirshov の定理は、2 生成子自由リー代数が SQ 普遍的であるという主張と同等です (リー代数のカテゴリ内)。これは、リー代数に対する Higman、Neumann、Neumann の定理のバージョンを証明することによって証明できます。^[12]ただし、HNN 定理のバージョンは、自由オブジェクトの明確なアイデアがないカテゴリに対して証明できます。たとえば、すべての分離可能な位相群は、2 つの位相生成子を持つ (つまり、稠密な2生成子部分群を持つ) グループの位相部分群と同型であることが証明できます。^[13]

同様の概念は自由格子にも当てはまります。3つの生成元を持つ自由格子は可算無限です。自由格子は、部分格子として4つの生成元を持つ自由格子を持ち、帰納法によって、部分格子として可算数個の生成元を持つ自由格子を持ちます。^[14]

参考文献

^ G. Higman、BH Neumann、H. Neumann、「グループの埋め込み定理」、J. London Math. Soc. 24 (1949)、247-254
^ Anton A. Klyachko、「1 つの関係子の相対的表現の SQ 普遍性」、Arxiv プレプリント math.GR/0603468、2006 年
^ G. Arzhantseva、A. Minasyan、D. Osin、「相対双曲群の SQ 普遍性と残差特性」、Journal of Algebra 315 (2007)、第 1 号、pp. 165-177
^ ベンジャミン・ファイン、マーヴィン・トレトコフ、「HNN 群の SQ 普遍性について」、アメリカ数学会誌、第 73 巻、第 3 号 (1979 年 3 月)、283-290 ページ
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^ KI Lossov、「融合有限部分群を持つ自由積の SQ 普遍性」、シベリア数学ジャーナル第 27 巻、第 6 号 / 1986 年 11 月
^ Muhammad A. Albar、「4 生成子 Coxeter 群について」、Internat. J. Math & Math. Sci Vol 24、No 12 (2000)、821-823
^ CF Miller. グループの決定問題 -- 概観と考察。『組合せ群論におけるアルゴリズムと分類』、1-60 ページ。Springer、1991 年。
^ AO Houcine、「有限提示群における存在理論の満足といくつかの埋め込み定理」、Annals of Pure and Applied Logic、第 142 巻、第 1-3 号、2006 年 10 月、351-365 ページ
^ ローソン、マーク V. (1998)逆半群: 部分対称性の理論、ワールドサイエンティフィック。 ISBN 981-02-3316-7、p. 52
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^ LA Skornjakov, Elements of Lattice Theory (1977) Adam Hilger Ltd. (77-78ページを参照)

Lawson, MV (1998)。逆半群：部分対称性の理論。World Scientific。ISBN 978-981-02-3316-7。

[1] G. Higman、BH Neumann、H. Neumann、「グループの埋め込み定理」、J. London Math. Soc. 24 (1949)、247-254

[2] Anton A. Klyachko、「1 つの関係子の相対的表現の SQ 普遍性」、Arxiv プレプリント math.GR/0603468、2006 年

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[8] CF Miller. グループの決定問題 -- 概観と考察。『組合せ群論におけるアルゴリズムと分類』、1-60 ページ。Springer、1991 年。

[9] AO Houcine、「有限提示群における存在理論の満足といくつかの埋め込み定理」、Annals of Pure and Applied Logic、第 142 巻、第 1-3 号、2006 年 10 月、351-365 ページ

[10] ローソン、マーク V. (1998)逆半群: 部分対称性の理論、ワールドサイエンティフィック。 ISBN 981-02-3316-7、p. 52

[11] PM Neumann: 有限に提示されたいくつかの群の SQ 普遍性。J. Austral. Math. Soc. 16, 1-6 (1973)

[12] AI Lichtman と M. Shirvani、「リー代数の HNN 拡張」、Proc. American Math. Soc. Vol 125、Number 12、1997 年 12 月、3501-3508

[13] Sidney A. Morris および Vladimir Pestov、「Higman-Neumann-Neumann 定理の位相的一般化」、研究レポート RP-97-222 (1997 年 5 月)、ビクトリア大学ウェリントン校数学・計算科学学部。また、J. Group Theory 1、No.2、181-187 (1998) も参照。

[14] LA Skornjakov, Elements of Lattice Theory (1977) Adam Hilger Ltd. (77-78ページを参照)