自由群の自己同型群

数学の群論において、自由群の自己同型群は、自由群の自己同型の離散群である。内部自己同型による商は、自由群の外部自己同型群であり、これはいくつかの点で曲面の写像類群に似ている。

ヤコブ・ニールセン(1924) は、基本的なニールセン変換 によって定義された自己同型が有限生成自由群の完全な自己同型群を生成することを示した。ニールセン、そして後にベルンハルト・ノイマンは、これらのアイデアを使用して、自由群の自己同型群の有限表現を与えた。これは、(Magnus、Karrass、Solitar 2004、p. 131、Th 3.2) でも説明されている。

順序基底[ x ₁ , …, x _n ]を持つ自由群の自己同型群は、次の4つの基本的なニールセン変換によって生成される。

• スイッチx ₁とx ₂
• x ₁、x ₂、…、x _nをx ₂、…、x _n、x ₁に循環的に並べ替えます。
• x _1をx ₁ ⁻¹に置き換える
• x _1をx ₁ · x ₂に置き換える

これらの変換は、基本的な行演算に類似しています。最初の 2 種類の変換は、行のスワップや巡回行の順列に類似しています。3 番目の種類の変換は、可逆スカラーによる行のスケーリングに対応します。4 番目の種類の変換は、行の加算に対応します。

最初の 2 つのタイプの変換は、ジェネレータを任意の順序で並べ替えるのに十分であるため、3 番目のタイプは任意のジェネレータに適用でき、4 番目のタイプは任意のジェネレータのペアに適用できます。

ニールセンは、これらのジェネレータを使用して、(Magnus、Karrass、Solitar 2004、p. 165、セクション 3.5) で説明されている、かなり複雑な有限表現を行いました。

• アウト(Fn)

• マグナス、ウィルヘルム、カラス、アブラハム、ソリター、ドナルド（2004）、組合せ群論、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43830-6、MR  0207802
• ニールセン、ヤコブ(1921)、「Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien」、Math。 Tidsskrift B (デンマーク語)、1921 : 78–94、JFM  48.0123.03
• ニールセン、ヤコブ(1924)、「Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、91 : 169–209、doi :10.1007/BF01556078、JFM  50.0078.04
• Vogtmann, Karen (2002)、「自由群の自己同型と宇宙空間」(PDF)、幾何学および組合せ群論に関する会議の議事録、第 1 部 (ハイファ、2000 年)、Geometriae Dedicata、94 : 1–31、doi :10.1023/A:1020973910646、ISSN  0046-5755、MR  1950871