矛盾

伝統的な論理学では、命題がそれ自体または確立された事実と矛盾する場合に矛盾が発生します。これは、不誠実な信念や偏見を検出するツールとしてよく使用されます。応用論理学の一般的な傾向を示すアリストテレスの無矛盾法則は、「同じものが、同じ対象に、同じ点で、同時に属し、属さないということは不可能である」と述べています。^[1]

現代の形式論理と型理論では、この用語は主に単一の命題を指すために使用され、しばしば偽記号で表されます。論理の規則を使用して偽を導き出すことができる命題は矛盾です。これは無条件に偽である命題（つまり、自己矛盾命題）です。^{[2] [3]}これは命題の集合に一般化することができ、その場合、矛盾を「含む」と言われます。 ${\displaystyle \bot}$

プラトンのエウテュデモス対話は、パラドックスを作り出すことで、矛盾の概念の必要性を実証しています。その後の対話では、ディオニソドロスは「矛盾」の存在を否定しますが、ソクラテスはずっと彼に反論しています。

... 私は驚いて言いました。「ディオニソドロス、どういうことですか？ 私は何度もあなたのこの主張を聞き、驚かされました。それはプロタゴラスの弟子たちやそれ以前の人たちによって主張され、採用され、私には非常に驚くべき、そして破滅的であると同時に自殺的なものに思えます。そして、私はあなたからその真実を聞く可能性が高いと思います。 格言は、偽りというものはないということです。人は真実を言うか、何も言わないかのどちらかです。 それがあなたの立場ではないのですか？」

実際、ディオニソドロスは「誤った意見など存在しない...無知など存在しない」ことに同意し、ソクラテスに「私を論破せよ」と要求する。ソクラテスは「しかし、あなたが言うように、虚偽を言うことが不可能であるなら、どうやってあなたを論破できるだろうか？」と答える。^[4]

古典論理、特に命題論理と一階述語論理では、命題が矛盾となるのは の場合のみである。 矛盾 に対しては、すべて に対してとなることが真である（ であるため）ので、矛盾を含む公理の集合から任意の命題を証明できる。これは「爆発の原理」または「ex falso quodlibet」（「偽から何でも従う」）と呼ばれる。 ^[5]${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle \varphi \vdash \bot}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \vdash \varphi \rightarrow \psi }$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \bot \vdash \psi}$

完全な論理では、式が矛盾するのは、それが満たされない場合のみです。

矛盾のない前提の集合と命題について、古典論理では、（すなわち がを証明する）場合のみ（すなわち となり、 は矛盾につながる）が真である。したがって、も証明する証明 は、前提 の下では真である。この事実の利用は、背理法による証明 と呼ばれる証明技法の基礎を形成し、数学者はこれを広範囲の定理の妥当性を確立するために広範に使用している。これは、排中律が公理として受け入れられている 論理にのみ適用される。${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Sigma \vdash \varphi }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \neg \varphi}$${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle A\vee\negA}$

古典論理と似た公理を持ちながら、偽証明や背理法のない論理である極小論理を使用すると、極小論理の定理ではない古典論理の定理を考慮することで、矛盾を扱うさまざまな規則の公理の強さと特性を調べることができます。^{[6]これらの拡張のそれぞれは}、中間の論理につながります。

1. 二重否定除去 (DNE) は最も強力な原理であり、公理化されており、これを最小論理に追加すると古典論理が生成されます。${\displaystyle \neg \neg A\implies A}$
2. 公理化された ex falso quodlibet (EFQ) は、否定の多くの帰結を許可しますが、通常、不合理性を伴う一貫した命題から不合理性を含まない命題を推論するのには役立ちません。 最小限の論理に追加されると、EFQ は直観主義論理を生み出します。 EFQ は、最小限の論理に対する公理化されたex contradiction quodlibetと同等です。${\displaystyle \bot \implies A}$${\displaystyle A\land \neg A\implies B}$
3. パースの定理(PR) は、不合理性を明示的に言及することなく、背理法で証明を捉える公理です。最小論理 + PR + EFQ は古典論理を生み出します。${\displaystyle ((A\implies B)\implies A)\implies A}$
4. ゲーデル＝ダメット (GD) 公理。これを最も簡単に読むと、真理値には線形順序があるということになります。最小論理 + GD はゲーデル＝ダメット論理をもたらします。ピアースの規則は最小論理上の GD を含意しますが、含意しません。${\displaystyle A\implies B\vee B\implies A}$
5. 排中律 (LEM) は、公理化され、二価性原理の最も頻繁に引用される定式化ですが、EFQ がなければ完全な古典論理にはなりません。極小論理 + LEM + EFQ は古典論理をもたらします。PR は極小論理において LEM を含意しますが、LEM によって含意されません。パースの規則の式 B が不合理に制限され、公理スキーマが与えられる場合、そのスキーマは極小論理上の LEM と同等です。${\displaystyle A\vee\negA}$${\displaystyle (\neg A\implies A)\implies A}$
6. 弱い排中律 (WLEM) が公理化され、選言が直観論理よりも古典論理に似た動作をするシステムを生み出します。つまり、選言と存在の特性は成り立ちませんが、結論で二重否定が発生することで非直観主義的推論の使用が示されます。LEM は最小論理で WLEM を含意しますが、WLEM によって含意されることはありません。WLEM は、否定を連言に分配するド・モルガンの法則の例に相当します。${\displaystyle \neg A\vee \neg \neg A}$${\displaystyle \neg (A\land B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)}$

数学では、証明内の矛盾を表すために使用される記号はさまざまです。^[7]矛盾を表すために使用される可能性のある記号には、↯、Opq、、⊥、/、および※が含まれます。どの記号でも、矛盾は真理値「偽」に置き換えられる可能性があり、たとえば「0」で表されます（ブール代数では一般的です）。QEDまたはその変種が矛盾記号の直後に見られることは珍しくありません。実際、これは背理法による証明でよく見られ、元の仮定が偽であることが証明されたこと、したがってその否定が真でなければならないことを示しています。 ${\displaystyle \Rightarrow \Leftarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow \ \!\!\!\!\!\!\!}$

一般に、一貫性の証明には次の 2 つが必要です。

1. 公理的なシステム
2. システム内で式pとその否定~p の両方を導出できるわけではないことの証明。

しかし、どのような方法をとるにせよ、すべての一貫性の証明には、矛盾という原始的な概念が必要であるように思われます。さらに、この概念は、トートロジーの定義における形式体系の「外側」になければならないように 思われます。

エミール・ポストは、1921年に出版した『基本命題の一般理論入門』で、命題論理学（すなわち論理）の一貫性の証明を『プリンキピア・マテマティカ』（PM）の証明を超えて拡張したとき、一般化された公理（すなわち公理）の集合に関しては、もはや「矛盾」という概念を自動的に呼び起こすことはできない、つまりそのような概念は公理に含まれていない可能性がある、と指摘した。

公理の集合の第一の要件は、それが一貫していることである。一貫性の通常の考え方は矛盾の概念を含み、それはまた否定を含むため、そしてこの機能は一般に[一般化された公理の集合]のプリミティブとして現れないため、新しい定義を与える必要がある。^[8]

ポストの問題解決法は、アーネスト・ネーゲルとジェームズ・R・ニューマンが1958 年に発表した『ゲーデルの証明』で提示された「一貫性の絶対的証明の成功例」という証明で説明されている。彼らもまた、「真実」と「偽り」という通常の「真理値」を伴う「矛盾」の概念に関する問題に気付いていた。彼らは次のことに気付いた。

トートロジーであるという性質は、真偽の概念で定義されています。しかし、これらの概念は明らかに、数式計算の外部への参照を含んでいます。したがって、本文で言及されている手順は、システムのモデルを提供することで、事実上、計算の解釈を提供しています。そうであるため、著者は、彼らが約束したこと、つまり「数式自体の純粋に構造的な特徴の観点から数式の性質を定義する」ことを実行していません。[実際] ... モデルに基づいており、公理の真偽からそれらの一貫性を論じる一貫性の証明は、単に問題を移動させるだけです。^[9]

_{PM の基本式 S 1} VS ₂ [包含的論理和] や ~S (否定)などの「基本式」が与えられると、これらの基本概念に基づいて公理を定義する必要があります。Post は PM で徹底的に実証し、トートロジーの特性(まだ定義されていませんが) が「継承される」ことを定義しています (Nagel と Newman も同様、下記を参照)。つまり、トートロジー公理 (公準) のセットと、置換とmodus ponens を含む演繹システムから始めると、一貫したシステムではトートロジー式のみが生成されます。

トートロジーの定義に関して、ネーゲルとニューマンは相互に排他的で網羅的な2つのクラス K ₁と K ₂を作成し、変数（たとえば S ₁と S _{2 ）}がこれらのクラスから割り当てられると、公理（の結果）がこれらのクラスに分類される。これは基本式にも適用される。たとえば、「S ₁ VS _{2という形式を持つ式は、S 1}と S _{2 の}両方が K ₂にある場合、クラス K ₂に配置されます。それ以外の場合は K ₁に配置されます」、および「~S という形式を持つ式は、S が K ₁にある場合、クラス K _{2に配置されます。それ以外の場合は K 1}に配置されます」。^[10]

したがって、ネーゲルとニューマンはトートロジーの概念を次のように定義できる。「ある式がトートロジーであるのは、その式がクラス K ₁に属する場合のみであり、その式が属する要素がどちらのクラスに属するかは関係ない」^[11] 。このようにして、「トートロジーである」という性質が、モデルや解釈を参照することなく説明される。

たとえば、~S ₁ VS _{2のような式と、K 1 を}S ₁に、K _{2 を}S ₂に割り当てると、式を評価してその結果をいずれかのクラスに配置することができます。K ₁をS ₁に割り当てると、~S _{1 は}K _{2に配置され、割り当てによって式がクラス K 2}に分類されることがわかります。したがって、定義により、この式はトートロジーではありません。

ポストは、システムが矛盾している場合、その中の演繹（つまり、トートロジーから導かれる一連の式の最後の式）は最終的に S 自身を生み出す可能性があることに気づきました。変数 S への割り当てはクラス K ₁または K ₂のいずれかから発生する可能性があるため、演繹はトートロジーの継承特性に違反します（つまり、導出はクラス K _{1に分類される式の評価を生み出す必要があります）。このことから、ポストは}矛盾の概念を使用せずに、次の矛盾の定義を導き出すことができました。

定義。システムが、変更されていない変数 p [ニューマンとナーゲルの例では S] の主張を生み出す場合、そのシステムは矛盾していると言われます。

言い換えれば、一貫性の証明を構築する際には「矛盾」という概念は不要であり、その代わりに「相互に排他的で網羅的な」クラスという概念が使われる。公理系には「矛盾」という概念を含める必要はない。^{[12] : 177}

認識論的コヒーレンティズムの支持者は、信念の正当化の必要条件として、その信念は論理的に矛盾のない信念体系の一部を形成しなければならないと主張するのが典型的である。グラハム・プリーストを含む一部の二神論者は、一貫性には一貫性が必要ではないかもしれないと主張している。^[13]

実用的矛盾は、議論の文言自体が主張と矛盾するときに発生します。この場合、発言の内容ではなく発言行為が結論を弱めるため、矛盾が生じます。^[14]

弁証法的唯物論では、ヘーゲル主義に由来する矛盾は、通常、1 つの領域、1 つの統一された力またはオブジェクト内に本質的に存在する対立を指します。この矛盾は、形而上学的思考とは対照的に、客観的に不可能なことではありません。なぜなら、これらの矛盾する力は客観的現実に存在し、互いに打ち消し合うのではなく、実際には互いの存在を定義しているからです。マルクス主義理論によると、そのような矛盾は、たとえば次の事実に見られます。

• （a）莫大な富と生産力が共存している：
• （ｂ）極度の貧困と悲惨
• (c) (a)の存在が(b)の存在に反すること。

ヘーゲルとマルクスの理論は、歴史の弁証法的な性質が歴史の矛盾の止揚、あるいは統合につながると規定している。したがってマルクスは、歴史は論理的に資本主義を社会主義社会へと進化させ、生産手段が社会の労働者階級と生産者階級に平等に奉仕するようになり、それによって（a）と（b）の間の先行矛盾が解決されると仮定した。^[15]

口語的な用法では、論理的な意味で矛盾する 前提が原因である（または原因であると認識されている）場合、行動や発言が互いに矛盾していると見なされることがあります。

背理法による証明は数学において証明を構築するために使用されます。

科学的方法は矛盾を利用して誤った理論を偽造します。

• 「議論クリニック」  - モンティ・パイソンのスケッチ。2人の議論者のうちの1人が、議論の中で矛盾ばかりを繰り返している。
• 自動反意語 – 2つの反対の意味を持つ単語リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 反対（論理）  – 論理図の種類リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 二神論 – 真実と偽りの両方の文が存在するという見解
• 二重基準 – 原則の一貫性のない適用
• 二重思考 – 互いに矛盾する2つの信念を同時に正しいと受け入れること
• グラハムの意見の相違の階層
• アイロニー – 修辞技法と文学技法
• 矛盾律
• 矛盾について – 毛沢東による1937年のエッセイ
• 矛盾表現 – 比喩表現
• 矛盾論理 – 爆発原理のない形式論理のタイプ
• パラドックス – 明らかに矛盾している発言
• トートロジー – 論理において、常に正しいとされる文
• TRIZ  – 問題解決ツール

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic、フランス語版とドイツ語版から Otto Bird、D. Reidel、ドルドレヒト、南ホラント州で翻訳。
• Jean van Heijenoort 1967 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic 1879-1931、ハーバード大学出版局、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、ISBN 0-674-32449-8 (ペーパーバック) 
• アーネスト・ネーゲルとジェームズ・R・ニューマン 1958年『ゲーデルの証明』ニューヨーク大学出版局、カードカタログ番号: 58-5610。

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Wikiquoteに矛盾に関する引用があります。

• 「矛盾（不一致）」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「矛盾の法則」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ホーン、ローレンス R.「矛盾」。ザルタ、エドワード N.（編）『スタンフォード哲学百科事典』。