フェルミガス

フェルミ気体は、相互作用しない多数のフェルミ粒子の集合体である理想化されたモデルである。フェルミ粒子は、電子、陽子、中性子のようにフェルミ・ディラック統計に従う粒子であり、一般に半整数スピンを持つ粒子である。これらの統計は、熱平衡状態にあるフェルミ粒子のエネルギー分布を決定し、フェルミ粒子の数密度、温度、および利用可能なエネルギー状態の集合によって特徴付けられる。このモデルは、イタリアの物理学者エンリコ・フェルミにちなんで名付けられている。^{[1] [2]}

この物理モデルは、多くのフェルミオンを持つ特定のシステムに役立ちます。主な例としては、金属内の電荷キャリア、原子核内の核子、中性子星内の中性子、白色矮星内の電子の挙動などが挙げられます。

理想フェルミ気体または自由フェルミ気体は、一定のポテンシャル井戸内の相互作用しないフェルミ粒子の集合を仮定した物理モデルである。フェルミ粒子は半整数スピンを持つ素粒子または複合粒子であり、フェルミ・ディラック統計に従う。整数スピン粒子の同等のモデルはボーズ気体（相互作用しないボソンの集合）と呼ばれる。粒子数密度が十分に低く、温度が高い場合、フェルミ気体とボーズ気体は両方とも古典的な理想気体のように振る舞う。^[3]

パウリの排他原理により、量子状態は、同一の量子数のセットを持つ複数のフェルミオンによって占有されることはできない。したがって、相互作用しないフェルミ気体は、ボーズ気体とは異なり、エネルギーあたり少数の粒子を集中させる。したがって、フェルミ気体はボーズ・アインシュタイン凝縮体に凝縮することが禁止されているが、弱く相互作用するフェルミ気体はクーパー対を形成して凝縮する可能性がある（BCS -BECクロスオーバー領域としても知られる）。^[4]絶対零度でのフェルミ気体の全エネルギーは、単一粒子基底状態の合計よりも大きい。これは、パウリの原理が、フェルミオンを分離して移動させ続ける一種の相互作用または圧力を意味するためである。このため、古典的な理想気体とは対照的に、フェルミ気体の圧力はゼロ温度でもゼロではない。たとえば、このいわゆる縮退圧力は、中性子星（中性子のフェルミガス）または白色矮星（電子のフェルミガス）を、表面上は星をブラックホールに崩壊させるはずの重力の内向きの引力に対して安定化させます。星が縮退圧力を克服できるほど十分に重い場合にのみ、星は特異点に崩壊することができます。

フェルミ温度を定義することが可能であり、それ以下ではガスは縮退しているとみなすことができます（その圧力はほぼパウリの原理から導かれます）。この温度は、フェルミオンの質量とエネルギー状態の密度に依存します。

金属内の非局在電子を記述する自由電子モデルの主な仮定は、フェルミ気体から導き出すことができます。遮蔽効果により相互作用は無視されるため、理想的なフェルミ気体の平衡特性とダイナミクスを扱う問題は、独立した単一の粒子の挙動の研究に帰着します。これらのシステムでは、フェルミ温度は一般に数千ケルビンであるため、人間への応用では電子ガスは縮退していると考えることができます。ゼロ温度でのフェルミ粒子の最大エネルギーは、フェルミエネルギーと呼ばれます。逆格子空間のフェルミエネルギー面は、フェルミ面として知られています。

ほぼ自由な電子モデルは、フェルミ気体モデルを金属や半導体の結晶構造を考慮するために適応させたもので、結晶格子内の電子は、対応する結晶運動量を持つブロッホ電子に置き換えられます。そのため、周期系はまだ比較的扱いやすく、このモデルは、例えば摂動論を使用して相互作用を扱うより高度な理論の出発点となります。

長さLの1 次元無限正方形井戸は、位置エネルギーを持つ 1 次元ボックスのモデルです。 $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

これは量子力学における標準的なモデルシステムであり、単一粒子の解はよく知られています。箱の中の電位は均一であるため、このモデルは1D均一ガスと呼ばれます^[5]。ただし、粒子の総数が少ない場合、ガスの実際の数密度プロファイルにはノードとアンチノードが存在する可能性があります。

レベルは単一の量子数nでラベル付けされ、エネルギーは次のように与えられます。

$${\displaystyle E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.}$$ ここで、はゼロ点エネルギー（ゲージ固定の形式として任意に選択できる）、は単一のフェルミオンの質量、 は換算プランク定数です。 ${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \hbar }$

ボックス内のスピンが - 1 ⁄ 2であるN 個のフェルミオンの場合、同じエネルギーを持つことができる粒子は 2 個までです。つまり、2 つの粒子が のエネルギーを持ち、他の 2 つの粒子が のエネルギーを持つ、というようになります。同じエネルギーを持つ 2 つの粒子は、スピンが1 ⁄ 2 (スピンが上向き) または - 1 ⁄ 2 (スピンが下向き) であり、各エネルギー レベルに 2 つの状態が存在します。総エネルギーが最も低い構成 (基底状態) では、 n  =  N /2までのすべてのエネルギー レベルが占有され、それより上のレベルはすべて空です。 ${\textstyle E_{1}}$${\textstyle E_{2}}$

フェルミエネルギーの基準を と定義すると、フェルミエネルギーは で与えられ、 ここではn  =  N /2 で評価された床関数です。${\displaystyle E_{0}}$$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right)^{2},}$$${\textstyle \left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor }$

熱力学的極限では、粒子の総数Nが非常に大きいため、量子数n は連続変数として扱うことができます。この場合、ボックス内の全体的な数密度プロファイルは確かに均一です。

範囲内の量子状態の数は、次のとおりです。 ${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+dn}$$${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2\,dn\,.}$$

一般性を失うことなく、ゼロ点エネルギーがゼロになるように選択され、次の結果が得られます。

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies dE={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\,dn={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}dn\,.}$$

したがって、範囲: 量子状態の数は、 $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+dE\,,}$$$${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2{\frac {dE}{dE/dn}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\,dE\equiv D(E_{1})\,dE\,.}$$

ここで、退化の度合いは次のようになります。

$${\displaystyle D(E)={\frac {2}{dE/dn}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

そして状態密度は次のようになります。

$${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

現代の文献では、^[5]上記の状態密度は「状態密度」と呼ばれることもあります。ただし、システムの体積（この場合は 1D の場合） の係数によって異なります。${\displaystyle D(E)}$${\displaystyle g(E)}$${\displaystyle D(E)}$${\displaystyle L}$

次の式に基づきます。

$${\displaystyle \int _{0}^{E_{\mathrm {F} }}D(E)\,dE=N\,,}$$

熱力学的極限におけるフェルミエネルギーは次のように計算できる。

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$$

3 次元の等方性かつ非相対論的な均一フェルミ気体のケースはフェルミ球として知られています。

3次元の無限正方形井戸（つまり、辺の長さがLの立方体の箱）の位置エネルギーは $${\displaystyle V(x,y,z)={\begin{cases}0,&-{\frac {L}{2}}<x,y,z<{\frac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

状態は、3 つの量子数n _x、n _y、n _zでラベル付けされます。単一粒子のエネルギーは、 n _x、n _y、n _zが正の整数である 場合に、次のようになります。この場合、複数の状態が同じエネルギーを持ちます (縮退エネルギー レベルと呼ばれます)。たとえば、 です。 $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$$${\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}}$

箱の中にN個の相互作用しないスピンフェルミオンが入っている場合、⁠1/2⁠、熱力学的極限におけるエネルギーを計算することは興味深いことです。ここで、Nは非常に大きいため、量子数n _x、n _y、n _{z は}連続変数として扱うことができます。

ベクトルでは、各量子状態は「n空間」内のエネルギーを持つ点に対応する。 ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$$${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$$

は通常のユークリッド長さの2乗を表します。E F  + E ₀未満のエネルギーを持つ状態の数は、 n _x、n _y、n _zが正であるn空間領域内の半径の球内にある状態_の数に等しくなります。基底状態では、この数はシステム内のフェルミオンの数に等しくなります。 ${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$${\displaystyle |\mathbf {n} |={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$

$${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}}$$

2の係数は2つのスピン状態を表し、1/8の係数はすべてのnが正である領域にある球面の割合を表します。 フェルミエネルギーは次のように与えられます。 $${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$$$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$$

その結果、フェルミエネルギーと体積あたりの粒子数との間には次のような関係が生まれます（L ^{2 を}V ^2/3に置き換えた場合）。

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}}$

これは、ゼロ点エネルギーを超える、最もエネルギーの高い粒子（ 番目の粒子）のエネルギーでもあります。番目の粒子のエネルギーは ${\displaystyle N}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle N'}$$${\displaystyle E_{N'}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N'}{V}}\right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$$

フェルミ球内のフェルミ粒子（フェルミ球内の すべてのエネルギー状態を占める）の全エネルギーは次のように表されます。${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}\,dN'=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$$

したがって、粒子あたりの平均エネルギーは次のように表されます。 $${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$$

3次元均一フェルミ気体の場合、スピンフェルミオンは、1/2⁠、エネルギーの関数としての粒子の数は、フェルミエネルギーを変数エネルギーに置き換えることによって得られます。 ${\textstyle N(E)}$${\textstyle (E-E_{0})}$

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2},}$$

そこから状態密度（体積あたりのエネルギー状態の数）が得られます。これは、粒子の数をエネルギーに関して微分することで計算できます。 ${\displaystyle g(E)}$

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}.}$$

この結果は、フェルミ球内の すべてのエネルギー状態を占めるフェルミオンのフェルミ球の全エネルギーを計算する別の方法を提供します。${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$$

熱力学の第一法則を用いると、この内部エネルギーは圧力として表現することができ、 この表現はフェルミ温度よりはるかに低い温度でも有効です。この圧力は縮退圧力として知られています。この意味で、フェルミオンで構成されるシステムは縮退物質とも呼ばれます。 $${\displaystyle P=-{\frac {\partial E_{\rm {T}}}{\partial V}}={\frac {2}{5}}{\frac {N}{V}}E_{\mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3},}$$

標準的な恒星は、熱圧力（プラズマと放射線）と重力とのバランスをとることで崩壊を回避します。恒星の寿命の終わりに熱プロセスが弱くなると、一部の恒星は白色矮星になることがあります。白色矮星は、電子の縮退圧力によってのみ重力に逆らって維持されます。フェルミガスをモデルとして使用すると、チャンドラセカール限界、つまり、ブラックホールまたは中性子星に崩壊する前に恒星が獲得できる最大質量（熱によって発生する大きな圧力なし）を計算することができます。後者は主に中性子で構成された恒星で、中性子の縮退圧力によっても崩壊が回避されます。

金属の場合、電子縮退圧は材料の 圧縮率または体積弾性率に寄与します。

フェルミオンの濃度が温度によって変化しないと仮定すると、3次元理想フェルミ気体の全化学ポテンシャルμ (フェルミ準位) は、ゾンマーフェルト展開によってゼロ温度フェルミエネルギーE _Fと関連付けられる( と仮定)。 ここでT は温度である。^{[6] [7]}${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\mathrm {F} }}$$${\displaystyle \mu (T)=E_{0}+E_{\mathrm {F} }\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right],}$$

したがって、内部化学ポテンシャルμ - E ₀は、特性フェルミ温度T _{Fよりもはるかに低い温度ではフェルミエネルギーとほぼ等しくなります。この特性温度は金属の場合 10} ⁵ K程度であるため、室温 (300 K) ではフェルミエネルギーと内部化学ポテンシャルは基本的に等しくなります。

自由電子モデルでは、金属内の電子は均一なフェルミ気体を形成するとみなすことができます。金属内の伝導電子の数密度は、 1 m ^{3あたり約10 28}～ 10 ²⁹個の範囲で、これは通常の固体中の原子の典型的な密度でもあります。この数密度により、次のオーダーのフェルミエネルギーが生成されます。 ここで、m _eは電子の静止質量です。^{[8]このフェルミエネルギーは、}太陽の表面温度よりもはるかに高い、 10 ⁶ケルビンのオーダーのフェルミ温度に相当します。大気圧下では、どの金属もこの温度に達する前に沸騰します。したがって、実用上は、第一近似として金属を温度ゼロのフェルミ気体と見なすことができます（通常の温度はT _Fに比べて小さいです）。 ${\displaystyle N/V}$$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m^{-3}} \right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} ,}$$

白色矮星と呼ばれる恒星は、質量が太陽に匹敵しますが、半径は太陽の約 100 分の 1 です。高密度とは、電子がもはや単一の原子核に束縛されておらず、縮退した電子ガスを形成していることを意味します。白色矮星の電子数密度は、10 ³⁶電子/m ³のオーダーです。つまり、フェルミエネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m^{3}} }}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV} }$$

もう一つの典型的な例は、原子核内の粒子です。原子核の半径はおおよそ次のようになります。 ここで、Aは核子の数です。 $${\displaystyle R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}}$$

したがって、原子核内の核子の数密度は次のようになります。

$${\displaystyle \rho ={\frac {A}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m^{-3}} }$$

フェルミエネルギーは同じタイプのフェルミオンにのみ適用されるため、この密度は 2 で割る必要があります。中性子の存在は原子核内の 陽子のフェルミエネルギーに影響を与えず、その逆も同様です。

原子核のフェルミエネルギーはおおよそ次のようになります。 ここで、m _{p は}陽子の質量です。 $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\rm {p}}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} ,}$$

原子核の半径は上記の値を中心に変動するため、フェルミエネルギーの典型的な値は通常 38 MeVと表されます。

次元上の体積積分を使用すると、状態密度は次のようになります。 ${\textstyle d}$

$${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2)}}}$$

フェルミエネルギーは粒子の 数密度を調べることによって得られます。$${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,dE}$$

取得するには: ここでは対応するd次元の体積、は内部ヒルベルト空間の次元です。スピンの場合、⁠$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\tfrac {1}{g_{s}}}\Gamma \left({\tfrac {d}{2}}+1\right){\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$$${\textstyle V}$${\textstyle g_{s}}$1/2⁠、すべてのエネルギーは2回縮退しているので、この場合は。 ${\textstyle g_{s}=2}$

状態密度が一定（エネルギーに依存しない）になる場合、 特別な結果が得られます。${\displaystyle d=2}$$${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}.}$$

調和トラップポテンシャル:

$${\displaystyle V(x,y,z)={\frac {1}{2}}m\omega _{x}^{2}x^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$$

は現代物理学において多くの応用を持つモデルシステムである^[5]。与えられたスピン種の状態密度（より正確には縮退度）は、

$${\displaystyle g(E)={\frac {E^{2}}{2(\hbar \omega _{\text{ho}})^{3}}}\,,}$$

ここで、調和振動周波数です。 ${\displaystyle \omega _{\text{ho}}={\sqrt[{3}]{\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}}}}$

特定のスピン種のフェルミエネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle E_{\rm {F}}=(6N)^{1/3}\hbar \omega _{\text{ho}}\,.}$$

フェルミエネルギーに関連して、いくつかの有用な量も現代の文献に頻繁に登場します。

フェルミ温度は と定義され、ここで はボルツマン定数です。フェルミ温度は、熱効果がフェルミ統計に関連する量子効果に匹敵する温度と考えることができます。^[9]金属のフェルミ温度は室温より数桁高いです。この文脈で定義される他の量には、フェルミ運動量、フェルミ速度^[10]があり、これらはそれぞれフェルミ面におけるフェルミオンの運動量と群速度です。フェルミ運動量は と記述することもできます。ここで はフェルミ球の半径で、 はフェルミ波数ベクトルと呼ばれます。^[11]${\textstyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}}$${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\textstyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}}$ ${\textstyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}}$${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }}$${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$

フェルミ面が非球面の場合、 これらの量は明確に定義されないことに注意してください。

上記の計算のほとんどは、零温度では正確ですが、フェルミ温度より低い温度でも良好な近似値のままです。他の熱力学変数については、熱力学的ポテンシャルを記述する必要があります。同一のフェルミオンの集団の場合、ポテンシャルを導く最良の方法は、温度、体積、化学ポテンシャルμを固定したグランドカノニカル集団から得ることです。その理由はパウリの排他原理によるもので、各量子状態の占有数は 1 または 0 (状態を占有する電子があるかどうか) で与えられるため、(グランド)分割関数は次のように記述できます 。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

ここで、は、同じ総エネルギーと粒子数を与えるすべての可能なミクロ状態の集合をインデックスし、は状態の単一粒子エネルギー（状態のエネルギーが縮退している場合は2回カウントされます）、は占有率です。したがって、グランドポテンシャルは次のように表されます 。${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \{q\}}$${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$${\textstyle \varepsilon _{q}}$${\textstyle q}$${\textstyle n_{q}=0,1}$

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right).}$

同じ結果はカノニカルアンサンブルとミクロカノニカル アンサンブルで得られます。これは、すべてのアンサンブルの結果が熱力学的極限 で同じ値を与える必要があるためです。ここでは、組み合わせ論と階乗の使用を回避するグランド カノニカル アンサンブルが推奨されます。 ${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$

前のセクションで検討したように、マクロな極限では連続近似（トーマス・フェルミ近似）を使用してこの合計を積分に変換できます。 ここで、D（ε）は状態の総密度です。 $${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )}\right)\,d\varepsilon }$$

グランドポテンシャルは、次のように有限温度における粒子の数と関連しており 、導関数は一定の温度と体積で取られ、 フェルミ・ディラック分布 としても知られています。 $${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\mathrm {d} \varepsilon }$$$${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$$

同様に、総内部エネルギーは $${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\!\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,d\varepsilon .}$$

多くの関心のあるシステムでは、 g ₀、α、ε ₀ の値によっては、状態密度全体がべき乗法則の形をとります。 前のセクションの結果はd次元に一般化され、次のようなべき乗法則が得られます。 $${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$$

• d次元の箱の中の非相対論的粒子の場合、 α = d /2、
• α = d はd次元調和ポテンシャル井戸内の非相対論的粒子の場合であり、
• d 次元の箱の中の超相対論的粒子の場合、 α = dです。

このようなべき乗則の状態密度に対して、グランドポテンシャル積分は次のように正確に評価されます。^[12] ここで、は完全なフェルミ・ディラック積分です（多重対数に関連します）。このグランドポテンシャルとその導関数から、関心のあるすべての熱力学的量を回復できます。 $${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$

この記事では、非相対論的力学の場合のように、粒子がエネルギーと運動量の間に放物線関係を持つ場合のみを扱ってきました。それぞれの静止質量に近いエネルギーを持つ粒子については、特殊相対論の方程式が適用できます。単一粒子のエネルギーは次のように与えられます。 $${\displaystyle E={\sqrt {(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}}.}$$

このシステムでは、フェルミエネルギーは次のように表される。 ここで、等式は超相対論的極限でのみ有効であり、^[13]$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {(p_{\mathrm {F} }c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c,}$$${\displaystyle \approx }$ $${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}.}$$

相対論的フェルミ気体モデルは、チャンドラセカール限界に近い大質量白色矮星の記述にも使用されます。超相対論的ケースでは、縮退圧力は に比例します。 ${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$

1956年、レフ・ランダウはフェルミ液体理論を考案し、フェルミ液体、すなわちフェルミ粒子間の反発力のある（必ずしも小さくない）相互作用を持つシステムのケースを扱いました。この理論は、理想的なフェルミ気体とフェルミ液体の熱力学的特性はそれほど変わらないことを示しています。フェルミ液体は、それぞれ異なる有効質量と磁気モーメントを持つ集団励起または準粒子で構成されたフェルミ気体と同等であることが示されています。

• ボーズガス
• フェルミオン凝縮
• 箱入りガス
• ジェリウム
• 二次元電子ガス

• Neil W. AshcroftおよびN. David Mermin 著、「固体物理学」 (Harcourt: Orlando、1976 年)。
• チャールズ・キッテル、固体物理学入門、第 1 版 1953 - 第 8 版 2005、ISBN 0-471-41526-X