ラゲール変換

ラゲール変換または軸ホモグラフィは、双対数上のメビウス変換に類似している。^{[1] [2] [3] [4]}これらの変換を研究する場合、双対数は平面上の有向線を表すものとして解釈されることが多い。 ^{[1]ラゲール変換は線を線に写像し、特に}平面のすべての等長変換を含む。

厳密に言えば、これらの変換は、 双対数射影直線に作用します。この直線は、双対数に無限遠点の集合を接します。位相的には、この射影直線は円筒に相当します。この円筒上の点は、平面上の 有向線と自然に1 対 1 に対応します。

ラゲール変換は、がすべて双対数であり、が双対数射影直線上にあり、 が零因子ではない線形分数変換 です。 ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle z}$${\displaystyle ad-bc}$

双対数は、であるが という形式の超複素数です。これは、である形式の複素数と比較できます。 ${\displaystyle x+y\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon^{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$${\displaystyle x+yi}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

双数射影直線の点は、次の 2 つの方法で同値に定義できます。

1. 通常の双対数の集合ですが、いくつかの「無限大点」が追加されています。正式には、集合は です。無限大点は と表現できます。ここで は任意の実数です。 の異なる値は、異なる無限大点に対応します。 は無限小数として理解されることが多く、したがっても無限であるため、これらの点は無限です。${\displaystyle \{x+y\varepsilon \mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}\cup \left\{{\frac {1}{x\varepsilon }}\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle {\frac {1}{x\バレプシロン }}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 1/\varepsilon }$
2. 同次座標[ x  : y ] で、xとyの双対数が生成するイデアルは双対数の環全体です。環は、x ↦ [ x  : 1] の射影を通して見られます。射影直線には点 [1 : yε ] が含まれます。

x軸と角度をなし、x切片がで表される直線は、双対数で表される。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle z=\tan(\theta /2)(1+\varepsilon s).}$

上記は、直線が x 軸に平行な場合には意味をなさない。その場合、 であれば が直線のy 切片であるところに設定します。ゼロ除数で割っているので有効ではないように見えるかもしれませんが、これは射影双対直線上の有効な点です。 であれば が設定されます。 ${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle z={\frac {-2}{\varepsilon R}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta =2\pi }$${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\varepsilon R}$

最後に、これらの座標が有向線を表していることに注意してください。有向線とは、2 つの可能な方向のうちの 1 つが付随する通常の線です。これは、 が 増加すると、結果として得られる双対数表現が同じではないという 事実からわかります。${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \pi}$

上記の直線座標は、原点からの直線の垂直距離である同次座標 として表現できます。この表現には多くの利点があります。1 つの利点は、軸に平行と非平行などの異なるケースに分ける必要がないことです。もう 1 つの利点は、これらの同次座標をベクトルとして解釈できるため、行列を掛け合わせることができることです。 ${\displaystyle z=\left[\sin \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right):\cos \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right)\right]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$

すべてのラゲール変換は、要素が双対数である 2×2行列として表すことができます。 の行列表現はです(ただし、この行列の非冪零スカラー倍はすべて同じラゲール変換を表すことに注意してください)。さらに、双対数要素を持つ 2×2 行列の行列式が冪零でない限り、それはラゲール変換を表します。 ${\displaystyle z\mapsto {\frac {pz+q}{rz+s}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$

(上記では、同次ベクトルを行ベクトルではなく、当然の方法で列ベクトルとして表していることに注意してください。)${\displaystyle [z:w]}$

ラゲール変換は点には作用しません。これは、3 本の有向線が同じ点を通過する場合、ラゲール変換によるそれらの像が 1 点で交わる必要がないためです。

ラゲール変換は、有向線だけでなく有向円にも作用すると考えられます。有向円は、または のいずれかのバイナリ値によって表される方向を持つ通常の円です。唯一の例外は、半径が 0 の円で、方向は に等しくなります。点は、半径が 0 の有向円として定義されます。有向円の方向が に等しい場合、円は「反時計回り」に向いていると言われます。方向が に等しい場合、円は「時計回り」に向いています。有向円の半径は、基になる無向円の 半径に方向を掛けたものとして定義されます。${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle r}$

ラゲール変換による有向円の像は、別の有向円です。有向図形 2 つ (円または直線) が互いに接している場合、ラゲール変換によるそれらの像も接しています。有向円 2 つは、その基となる円が接しており、接触点でそれらの向きが等しい場合に接していると定義されます。直線と円の接線も同様に定義されます。ラゲール変換は、点を有向円にマッピングすることがありますが、その円はもはや点ではありません。

有向円は、有向直線にマッピングできません。同様に、有向直線は、有向円にマッピングできません。これは、直線と円を互いにマッピングできますが、どちらも点にマッピングできないメビウス幾何学とは逆です。メビウス幾何学とラゲール幾何学はどちらもリー球面幾何学のサブ幾何学であり、点と有向直線を互いにマッピングできますが、接線は保持されます。

有向円（点を含むが直線を含まない）の行列表現は、まさに可逆な歪エルミート双対数行列です。これらはすべて形式（すべての変数は実数、）です。有向円に接する有向直線の集合は で与えられ、 は双対数 上の射影直線を表します。 で表されるラゲール変換を で表される有向円に適用すると、 で表される有向円が得られます。有向円の半径はトレースの半分に等しくなります。方向はトレースの 符号です。${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle H={\begin{pmatrix}\varepsilon a&b+c\varepsilon \\-b+c\varepsilon &\varepsilon d\end{pmatrix}}}$${\displaystyle b\neq 0}$${\displaystyle \{v\in \mathbb {DP} ^{1}\mid v^{*}Hv=0\}}$${\displaystyle \mathbb {DP} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (M^{-1})^{*}HM^{-1}}$

以下のアニメーション図には、いくつかの方向付けられた線が表示されていますが、線の方向が視覚的に示されていないことに注意してください (そのため、方向のみが異なる 2 本の線は同じ方法で表示されます)。方向付けられた円は、方向付けられた接線のセットとして表示され、特定の視覚効果をもたらします。

以下の内容は、Isaak YaglomのComplex numbers in geometryとGutinのGeneralizations of singular value decomposition to twin-numbered matricesに記載されています。^{[1] [5]}

形式のマッピングは剛体運動を表現します（直接ユークリッド等長変換と呼ばれることもあります）。これらの変換の行列表現は、平面四元数に同型な部分代数に及びます。 ${\displaystyle z\mapsto {\frac {pz-q}{{\bar {q}}z+{\bar {p}}}}}$

マッピングはx 軸に関する反射を表します。 ${\displaystyle z\mapsto -z}$

変換は、y 軸を中心とした反射を表します。 ${\displaystyle z\mapsto 1/z}$

が上記の 3 つの変換の任意の組み合わせの行列表現であるが、行列式を持つように正規化されている場合、 は（ はを意味する）を満たします。これらをユニタリ行列と呼びます。ただし、これらは複素数ではなく双対数の意味でユニタリであることに注意してください。ユニタリ行列はユークリッド等長変換 を正確に表現します。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle U}$${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=I}$${\displaystyle U^{*}}$${\displaystyle {\overline {U}}^{\mathrm {T} }}$

単位による軸の拡大は、形式 の変換です。単位による軸の拡大は、中心を維持しながら、すべての向きの円の半径を単位だけ増加させます。円の向きが負の場合、その半径は負とみなされ、そのため、円の正の値によっては実際に縮小します。図 1 に軸の拡大が示されており、反対向きの 2 つの円が同じ軸の拡大を受けています。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle {\frac {z+(\varepsilon t/2)}{(-\varepsilon t/2)z+1}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

直線上で、単位による軸拡大は、任意の直線を、 とが平行で、と の間の垂直距離が である直線にマッピングします。平行だが向きが逆の直線は、反対方向に移動します。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$${\displaystyle t}$

実数値の変換では、直線の x 切片は保持されますが、x 軸に対する角度は変化します。図 2 を参照して、直線のグリッド (中央に x 軸を含む) への影響を確認してください。また、図 3 を参照して、当初は方向のみが異なる 2 つの円 (結果が方向によって異なることを確認するため) への影響を確認してください。 ${\displaystyle z\mapsto kz}$${\displaystyle k}$

これらすべてをまとめると、行列形式の一般的なラゲール変換は と で表すことができます。ここで、 とはユニタリであり、 は形式または の行列です。ここで、と は実数です。行列と はユークリッド等長変換を表します。行列は形式の変換または軸拡大を表します。特異値分解との類似性は明らかです。^[5]${\displaystyle USV^{*}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\varepsilon \\b\varepsilon &a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle z\mapsto kz}$

注: が軸拡大である場合、係数は単位行列に設定できます。これは、が単位行列で が軸拡大である場合、 、つまり の転置を表す であるという事実から導かれます。したがって です。${\displaystyle S}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle SV={\begin{cases}VS,&\det(V)=+1\\VS^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}}$${\displaystyle S^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle USV^{*}={\begin{cases}(UV^{*})S,&\det(V)=+1\\(UV^{*})S^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}}$

次のような疑問が生じます。上記の双対数の役割を複素数に変更するとどうなるでしょうか。その場合、複素数は楕円平面(楕円幾何学が行われる平面) 内の有向線を表します。これは、ユークリッド平面内の有向線を表す双対数とは対照的です。楕円平面は本質的に球体 (ただし対蹠点が同一視される) であり、線はしたがって大円です。任意の大円を赤道として選択することができます。経度 で赤道と交差し、交差点で赤道と角度をなす有向大円は、複素数 で表すことができます。 の場合(線は文字通り赤道と同じですが、 のときとは反対方向を向いています)、有向線は として表されます。双対数の場合と同様に、ユニタリ行列は楕円平面 の等長変換として機能します。 「楕円ラゲール変換」のセット (この設定でのラゲール変換の類似物) は、複素行列の特異値分解を使用して分解できます。これは、双数行列の特異値分解の類似物を使用してユークリッド ラゲール変換を分解した方法と似ています。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tan(\theta /2)(\cos(s)+i\sin(s))}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \infty }$

双曲数または複素数の役割を分割複素数に変更すると、ユークリッド平面または楕円平面の代わりに双曲平面上の有向直線を表すための同様の形式化が展開されます。 分割複素数は の形式で記述できます。これは、問題の代数が に同型であるためです。(ただし、単なる代数ではなく*-代数であるため、分割複素数はこのように分解できないことに注意してください)。 の項とは、双曲平面の境界上の点を表します。これらは、それぞれ有向直線の始点と終点です。 双曲平面の境界は射影直線に同相であるため、 と がアフィン直線 ではなく射影直線に属する必要があります。実際、これは を示唆しています。 ${\displaystyle (a,-b^{-1})}$${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,-b^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} )\mathbb {P} ^{1}\cong \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}\oplus \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}}$

分割複素数上のユニタリ行列の類似物は、双曲平面の等長変換である。これはヤグロムによって示されている。^[1]さらに、線形分数変換の集合は、特異値分解に似た方法で分解することができるが、これはジョルダン分解とも統合される。^{[6] [1]}

したがって、3 つの平面数体系 (複素数、双対数、分割複素数) と 3 つの非ユークリッド幾何学の間には対応関係があります。ユークリッド幾何学に対応する数体系は双対数です。

n 次元ラゲール空間は、n + 1ミンコフスキー空間と同型です。ミンコフスキー空間内の点を有向超球に関連付けるには、 を中心とする光円錐を超平面と交差させます。ラゲール変換の群は、ポアンカレ群と同型です。これらの変換は、有向円間のダルブー積と呼ばれる一種の二乗距離を保存する変換とまったく同じです。直接ラゲール変換は、部分群 として定義されます。2 次元では、直接ラゲール変換は 2×2 双対数行列で表すことができます。2×2 双対数行列がクリフォード代数 を構成すると理解される場合、高次元でも同様のクリフォード代数表現が可能です。 ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},r)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} (n,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} ^{+}(n,1)}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0,1}(\mathbb {R} )}$

変換群を同じままにして、ミンコフスキー空間を射影空間に埋め込むと、無限遠点は有向平面になります。形状が平坦であるため、「平面」と呼びます。2 次元では、これらは有向線です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n+1}}$

余談ですが、ラゲール変換には、有向平面を保存するリー球面変換と、ダルブー積を保存するリー球面変換という、同等ではない定義が 2 つあります。この記事では後者の規則を使用します。2 次元であっても、前者の変換群は後者よりも一般的であることに注意してください。たとえば、相似性は有向直線を有向直線に写しますが、一般にダルブー積を保存しません。これは、単位を中心とする相似性を使用して実証できます。次に、この変換が 2 つの円に及ぼす作用を考えます。1 つは単に点 で、もう 1 つはを中心とする半径 の円です。これら 2 つの円のダルブー積は に等しくなります。相似性によるそれらの像のダルブー積は に等しくなります。したがって、 の場合にのみラゲール変換が得られます。 ${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle -t^{2}}$${\displaystyle t^{2}=1}$

このセクションでは、ラゲール変換をこの記事の残りの部分とは異なる方法で解釈します。線座標に作用する場合、ラゲール変換はここで説明する意味では共形であるとは理解されません。これは図 2 に明確に示されています。

ラゲール変換は、双数平面の適切な角度が特定されている場合、角度を保存します。光線y = mx、x ≥ 0、および正の x 軸が角度の辺として取られると、傾き m はこの角度の大きさです。

この数m は、区間[(√2,0), (√2, m √2)]を底とする直角三角形の符号付き面積に対応します。直線 {1 + aε : a ∈ ℝ} は、双数乗算とともに、単位双数の部分群を形成し、各要素は双数平面に作用するときにせん断写像になります。平面内の他の角度は、このような作用によって生成され、せん断写像は面積を保存するため、これらの角度のサイズは元の角度と同じです。

zから 1/ zへの反転は角度の大きさを不変にすることに留意されたい。一般ラゲール変換は平行移動、拡大、せん断、反転によって生成され、これらすべてが角度を不変にするため、一般ラゲール変換はこれらの角度の意味で共形である。^{[2] : 81}

• エドモン・ラゲール
• ラゲール平面
• イサク・ヤグロム
• ライン座標

• 「有向円と3D相対論的幾何学」ラゲール幾何学の概念を紹介する初歩的なビデオ。このビデオは有理三角法の観点から紹介されています。